二重积分换元与雅可比

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方法选择

• 两组边界分别为 、 时，优先令 。
• 三角形上的 配合 ，斜条上的 配合 ，乘积与比例边界配合 。
• 被积函数中出现可疑因子时，检查它是否为 。
• 换元必须同时处理区域、一一对应性和雅可比绝对值。

必考

880 第6章基础填空 7

原题

设，求，

解析

令，新区域为 ，雅可比为 ，故

880 第6章基础解答 2

原题

设，计算，

解析

仍令 ，则 ，。因此

880 第6章综合填空 2

原题

设

求 。

解析

令，区域变为正方形 ，且

故

880 第6章综合解答 3

原题

曲线 在第一象限围成区域 ，计算，

解析

令 ，则 ，。边界化为，区域关于 对称， 项积分为零。因此

880 第6章综合解答 4

原题

计算

解析

两块区域拼成 ，并关于 对称。交换变量后， 的积分等于 的积分，故原积分化为

令 ，得到

880 第6章综合解答 7

原题

设 ，计算，

解析

极坐标下 。先对角度令 ：

故

880 第6章综合解答 22

原题

设 在 上连续，。证明，

解析

令，恒等式 表明新区域是 。于是

1000 基础篇第14章 20

原题

设 ，计算，

解析

令 ，则 ，。变量完全分离：

1000 强化篇第14章 7

原题

设 ，计算，

解析

令，正向雅可比为 。在本区域内 ，新区域为，故

1000 强化篇第14章 9

原题

设，计算 。

解析

令 ，则 ，区域变成矩形。故

1000 强化篇第14章 13

原题

设 ，计算，

解析

取第一象限后乘 ，令 ，则 。有

因此

1000 强化篇第14章 26

原题

设 ，计算，

解析

四个象限全等。第一象限令 ，则 。故

1000 强化篇第14章 35

原题

由 与 围成，计算，

解析

令 。边界直接变为，正向雅可比为，故被积式连同面积元为 ，从而

1000 强化篇第14章 39

原题

设，计算 。

解析

令 ，则 ，且，因此

1000 强化篇第14章 41

原题

设，且 在 上连续，并满足，

（1）计算 ；

（2）证明存在 ，使 。

解析

极坐标下

径向积分为

所以

若处处 ，则

矛盾。故所述点存在。

相关概念

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• 雅可比与面积元