二重积分的对称、平移与标准矩

🏠 第14章概念导航 · 重积分题库

方法选择

• 对称性同时检查区域和被积函数；平移后重新判断对称轴。
• 关于 对称时，将 与 相加。
• 圆盘上 ；椭圆先伸缩到单位圆。
• 平移圆盘上的一次项消失，二次项拆成中心坐标平方与圆心常数。

必考

880 第6章基础选择 2

原题

设 是以 为顶点的三角形， 是 在第一象限的部分。求

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

可写为 。直接先对 积分可见 项积分为零，而

右端正是 ，选 。

880 第6章基础填空 3

原题

设 ， 且连续，求，

解析

交换 后区域不变，两个被积函数之和恒为 。故，所以 。

880 第6章基础填空 4

原题

设 ，求，

解析

正方形被对角线分成两个对称三角形，且 关于交换 对称。对角线面积为零，因此

880 第6章基础填空 5

原题

设 ，求，

解析

在交换 后变号，其积分为零。故

880 第6章综合填空 1

原题

设 ，求，

解析

令 。固定 时，沿 方向的截段长度为 ，故， 关于 对称，因此

1000 基础篇第14章 4

原题

设 由 与 围成，判断的符号依赖哪些参数。

• (A) 等于
• (B) 符号与 有关，与 无关
• (C) 符号与 有关，与 无关
• (D) 符号与 都有关

解析

关于 轴对称， 关于 为奇函数，故其积分为零； 除零测集外为正。因此积分符号只与 有关，选 。

1000 基础篇第14章 9

原题

设 ，化简

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

区域是正方形 中圆 之外的部分。先用关于 轴的偶性取右半，再用 将第一象限内关于 对称的两块合并，得到

选项 C 是利用对称性后的简式。选项 A 是原积分直接换序所得的分段式，也与原积分相等；按当前 OCR 题面，A、C 两项均成立，选项设置存在重复等价。

1000 基础篇第14章 15

原题

设 由 与 围成，计算，

解析

关于 为奇函数，积分为零。极坐标下

故

1000 基础篇第14章 17

原题

设 ， 为任意连续函数，求，

解析

先对 积分，得到偶函数权，记方括号为 ，直接代入可得 。奇函数乘偶函数在 上积分为零，故结果为 。

1000 基础篇第14章 21

原题

设 ，计算，

解析

令 。单位圆盘上一次项消失，且 。因此

1000 基础篇第14章 22

原题

设 ，计算，

解析

是圆心 、半径 的圆盘。令 ，奇次项消失，故

1000 强化篇第14章 2

原题

设 ， 是第 象限部分，，判断哪个 。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

关于 对称，而 交换变量后变号，故 。在第四象限 ，被积函数为正，所以 ，选 。

1000 强化篇第14章 6

原题

计算

解析

区域关于 轴对称， 关于 为奇函数，积分为零。剩余积分等于上半单位圆面积减去上半星形线 的面积：

1000 强化篇第14章 24

原题

设，计算 。

解析

把 写成大半圆减小半圆。大半圆上 消失，。小半圆平移 后，被积函数为 ，其中，因此

拓展

880 第6章基础填空 8

原题

设 ，求，

解析

单位圆盘上 ，故

880 第6章基础填空 9

原题

区域 由 所围，求 。

解析

按 积分：，令 ，根式为 ；其中含 的部分为奇函数。故

880 第6章基础填空 10

原题

设 ，求 。

解析

是圆心 、半径 的圆盘。 的积分为零， 的平均值为圆心横坐标 ，故

1000 强化篇第14章 8

原题

设 ，求，

解析

令 ，，新区域是四分之一单位圆。其面积为 ，且 。故

1000 强化篇第14章 11

原题

设 ，求 。

解析

项积分为零，故

1000 强化篇第14章 12

原题

设 ，求，

解析

椭圆关于两轴对称，一次项消失。利用

得到

1000 强化篇第14章 25

原题

设 ，求 。

解析

平移到单位圆后，一次项消失。两个平方矩各为 ，两个圆心常数各贡献 ，故

1000 强化篇第14章 29

原题

设 ，求 。

解析

线性函数在中心对称圆盘上的平均值等于圆心处的值 ，圆盘面积为 ，故结果为 。

1000 强化篇第14章 37

原题

区域 由 所围，计算，

解析

直接按 积分：，令 ，再用 计算标准偶函数积分，得到

880 第6章综合填空 5

原题

设，求 。

解析

令 ，则 ，新区域为单位圆盘。故

相关概念

• 二重积分的对称、比较与平均值
• 积分中的平移对称