积分里的平移对称：先找中心，再拆奇偶

这一页在记什么

很多题并不关于坐标轴对称，却关于某条直线 、 或某个点 对称。 先平移，把对称中心搬到原点，再用奇偶性消项。

总口诀

先配方，找中心； 再平移，换变量； 后拆项，判奇偶； 奇项消，偶项留。

一元积分情形

若区间关于 对称，即，令，则

接下来只需判断 关于 的奇偶性。

例如先配方：，再令 ，得，其中是奇函数，直接消掉。

二重积分情形

若区域 关于直线 对称，令，这时凡是对 为奇函数的部分，积分都会消失。

最常用的拆法是，于是

若 关于 对称，则，所以，同理，若关于 对称，则

关于点 中心对称时

令

若区域 在下变号，则积分为 。

最常见可直接消掉的项有：

以及更一般的奇次组合，例如

什么时候要立刻想到这套方法

看到下面这些结构时，优先找中心：

• 题目明说“区域是某个圆盘、椭圆、抛物线夹域平移后得到”

这套方法的本质

所谓“平移后奇偶消项”，和“对称区域的形心落在对称轴上”其实是一回事。 该换元把几何对称翻译成积分中的代数消项。

一句最该记住的话

区域关于某条直线或某个点对称时，可以先平移再判奇偶。

题型训练

• 二重积分的对称、平移与标准矩

链接

• 第14讲：二重积分的区域、换序与极坐标
• 第10讲：积分几何与微元法

一元积分题型训练

• 对称性、奇偶性、周期性与加权中心