对称性、奇偶性、周期性与加权中心

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方法选择

区间关于中点对称时，把与配对。
周期函数的整周期积分与起点无关；带权因子时，先求一周期的加权中心，再分段平移。
比较正负振荡积分时，将负半波平移到正半波，比较配对后的权函数大小。
反三角函数、指数函数出现互补关系时，优先检查是否为常数。

必考

880 第3章基础选择 8

原题

设则

解析

令。由于，，又有，并令可得，所以。故，选。

880 第3章基础填空 6

原题

____.

解析

以为周期，其周期平均值为

880 第3章综合解答 15

原题

设是连续的偶函数, 函数连续, 且满足 .

（I）证明：

(Ⅱ) 计算 .

解析

（I）记左端积分为。作代换，利用和，得，与原式相加：，（Ⅱ）取、，由（I）

880 第3章综合解答 29

原题

设在内连续，且满足 .

（I）证明：（为正整数）；

(Ⅱ) 计算 .

解析

记，。令，利用，得到，故。

将分成个周期：

对，有、，所以

1000 基础篇第8章 10

原题

设是上可导的奇函数, 任意的 , 均有 , , 则以下是偶函数的是().

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

由奇性和，有。在关系式中取，得，从而。

为奇函数，为偶函数。选项 A 的被积函数是奇函数，所以从到的积分是偶函数。选。

1000 基础篇第8章 20

原题

设，则有（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

按奇偶性：；中第一项积分为，第二项严格为正，所以；中的积分为，而的积分严格为负，所以。因此，选。

1000 基础篇第9章 9

原题

设连续函数满足，，则 ____.

解析

在上积分函数方程：

已知第二项为，故答案为。

1000 基础篇第9章 14

原题

若连续周期函数 (不恒为常数) 对任何恒有成立, 则的周期是( ).

(A)7

(B)8

(D)10

解析

对恒等式关于求导：，令，得，故是其周期，选。

1000 基础篇第11章 3

原题

设为连续函数, , 证明: 以为周期的充分必要条件是任给常数 , 为常数.

解析

若以为周期，则，与无关。

反之，设为常数。连续性保证，故对任意成立，以为周期。

1000 强化篇第8章 4

原题

，则（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

令，可得。又，所以。

将的后半段平移配对：，因此，选。

1000 强化篇第8章 5

原题

设 , 则( ).

(A) (B) (C) (D)

解析

的被积函数恒正，所以。对令：

选。

1000 强化篇第9章 6

原题

已知是连续的偶函数, 且 , 则 ____.

解析

令：

为偶函数，为奇函数，故上式等于

1000 强化篇第9章 7

原题

已知连续，，，则 ____。

解析

令，函数关系化为。在上积分：

故。

1000 强化篇第9章 9

原题

设是以2为周期的连续函数，，是过点和的直线，则 .

(A)-2

(B) -1

(D)2

解析

直线。令：，含两个完整周期，所以该积分为，选。

1000 强化篇第9章 12

原题

求 .

解析

将与配对：

1000 强化篇第9章 26

原题

。

(A)1

(B)3

(C)

(D)

解析

令，区间变为。设，则。因此，选。

拓展

880 第3章基础解答 5

原题

求下列积分:

(I)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(IV)

解析

逐项利用奇偶性：

（IV）中第二项为奇函数。令，则，故

1000 基础篇第8章 19

原题

设为上可导的奇函数, 则下列函数为奇函数的是().

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

为奇函数，故为偶函数。偶函数从到的积分为奇函数，所以选项 D为奇函数。其余选项分别为偶函数或奇偶混合，选。

1000 基础篇第9章 25

原题

解析

在上，故

1000 基础篇第9章 26

原题

解析

令，再利用被积函数的偶性：

分部积分得

1000 基础篇第9章 28

原题

解析

为奇函数，且也是奇函数，故积分为。

对话补充题

对称图形的积分重心

原题

设在上连续，且的图形关于直线对称。证明。

解析

对称性给出。记左端为，令：，与原式相加，得到，结论成立。

补充题

偶分母先消去奇部分

原题

求，

解析

，分母是偶函数。分子中的给出奇函数，积分为，所以，令：

对称换元消去线性因子

原题

求，

解析

令，利用、，与原式相加：，再令：

因此。

小数部分函数的长期平均

原题

设，求，

解析

以为周期，且。令，则

又且，故极限为。长期平均等于单周期平均，末段只产生有界余量。

考研笔记