三角有理式积分：先判型，再选择换元

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三角有理式积分先把转化为有理函数积分。选取合适的三角换元后，题目回到，再按“长除法、因式分解、部分分式”的路线处理。

最万能的兜底法

半角代换：

它的优点是：只要原式是 的有理式，代完一定会变成 的有理函数。它的缺点是：简单题也可能被它做复杂。

所以万能代换适合作为兜底法，不适合作为第一反应。

考场判型顺序

1. 先看能不能直接凑内函数导数

若出现，优先令；若出现，优先令。

例如直接令，比任何三角有理化都短。

2. 再看能不能进入 世界

如果分母或整体结构主要含，优先尝试同除一个平方，把它送进的世界。

典型例子：，同除后有

这时令，就直接得到，若定积分区间跨过，须先拆区间。以为例，在处断开，因此

完整题目：正切换元跨越断点。

3. 都不明显时，再用半角代换

如果 都以一次形式出现，又没有明显的内函数导数搭配，就考虑，例如用半角代换时，分母会化为

再乘，整体就变成

定积分要先看区间

不定积分主要看被积函数结构，定积分还要先看区间结构。

如果要令，必须检查区间是否跨过，若跨过，就要先拆区间，再分别换元。

例如虽然适合令，但区间跨过，所以必须先拆。

另一个方向是对称换元。遇到要先试；如果，就可以把前面的 消掉一半。

例如，被积函数中除外的部分关于对称。作并与原式相加，得到

故。完整题目：对称换元消去线性因子。

判型清单

• ：令。
• ：令。
• 只含或可同除平方：尝试。
• 只含且配有：令直接有理化。
• 一般：用兜底。
• 定积分含对称区间或：先作对称换元。
• 区间跨过的断点：先拆区间，再逐段换元。

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