积分体系图：哪些积分在换元、分部后还能回到同类
这一页在记什么
所谓“积分体系”，就是一族积分在换元、分部、恒等变形、对参数求导后，仍能回到同类，并形成递推、降阶或统一模板。
这一页是为了把第 9 讲那些零散技巧串成网络。
什么叫“回到同类”
如果一个积分做一次操作以后，仍然落在同一个母式里，我们就能继续递推，不必每次都从零开始。
典型思路有三种：
- 指标平移：把
降成 或 ； - 结构闭合：做完分部后仍是同型积分的线性组合；
- 统一换元：表面不同的积分，其实都能化到同一个标准模型。
数一里最常见的 8 类积分体系
1. 二项幂体系
母式：
这类和 Beta 直接相连，常能用递推或闭式统一。
2. 幂对数体系
母式：
对参数
典型入口见参数微分法：用参数求导制造积分里的复杂因子。
3. 多项式乘指数体系
母式：
4. 多项式乘三角体系
母式：
它们不是各自闭合，而是成对闭合；分部后会在
5. 指数乘三角体系
母式：
分部后仍回到
求解见：常见积分公式总表
6. 有理函数体系
母式：
- 一次因子；
- 重一次因子；
- 不可约二次因子；
- 重二次因子。
7. 有理三角体系
母式：
8. 根式三角体系
母式：
通过
最上层的两个总体系
1. Beta 统一
它把下面两类直接连起来：
上的幂函数乘积； 上的三角幂积分。
例如
2. Gamma 统一幂函数乘指数衰减
它把下面这类反常积分统一起来：
做题时怎么用“体系视角”
1. 先认母式，不要急着算
看到积分以后，先问：
- 它是递推型吗？
- 它是成对闭合吗？
- 它能不能换元后进入 Beta 或 Gamma？
2. 先看能否统一，再决定局部技巧
同一题可能既能硬算，也能放进某个体系里。考试内做法和体系做法都可以，但体系视角能让你更快认出本质。
3. 体系视角是地图，不是强制走法
有些题用 Beta 或 Gamma 秒掉，但考试内也许更推荐用分部、递推、对称或常规换元。体系视角主要用来帮助你归类，不是让你无脑上特殊函数。
一句最该记住的话
很多看起来完全不同的积分，最后不是化到有理函数，就是化到 Beta / Gamma；所谓“积分计算”，其实常常是在这些体系之间来回转换。