考研笔记

点火公式：三角幂积分的 Wallis 递推与区间处理

这一页在记什么

“点火公式”：

它最适合处理的是标准区间上的、，以及能通过对称、周期、换元拆回这个标准区间的题。

一句话：

先判断角度区间，再决定能不能点火。

标准点火公式

设

则

所以：

也可以写成阶乘形式：

为什么递推成立

以为例，分部积分：

于是。

关键点是边界项刚好为。这就是为什么标准点火公式对区间很敏感。

先记住几个常用区间

1.

这就是标准公式：

2.

因为在上关于对称且非负：，对要看奇偶：

为偶数为奇数

3.

若不带绝对值，奇次幂通常会正负抵消：

为偶数为奇数

若带绝对值，则每个象限都贡献一个：

4.

对：，对要看奇偶：

为偶数为奇数

区间不是 时怎么办

1. 先问：角度区间是不是标准区间

如果题目是，不要先看区间长度，而要先令，若，则

所以真正决定能不能点火的是的区间。

例如：

再如：

这里区间长度是，但真正用的是后得到的。

2. 如果端点卡在象限边界，就拆成象限

对这种完整象限，或的积分都是。

不带绝对值时，偶次幂仍为；奇次幂要看该象限里函数的符号。

例如：

3. 如果区间长度不是 ，不要硬按比例缩放

比如

因为在区间上不是常数，积分不能按区间长度简单成比例。

实际计算为

这种非标准短区间通常用：

  • 降幂公式；
  • 原函数直接算；
  • 带边界项的递推公式；
  • 先用周期、对称拆出标准部分，再处理剩余部分。

任意区间上的带边界项递推

如果，则

等价地：

如果，则

标准点火公式只是这些公式在上边界项消失后的特例。

特别地，对：

其中

对：

其中

混合幂：

标准区间上更一般的是，如果，则 Beta 函数给出总公式：

如果是非负整数，也可以用递推：

或

最终会落到：

直觉上：

  • 全偶次最后会留下一个因子；
  • 只要有奇次，通常会落成纯有理数；
  • 非整数幂或复杂幂次，Beta 函数更统一。

和 Beta 函数的关系

点火公式是 Beta 函数在整数幂三角积分上的递推版。

因为

当是整数时，Gamma 的半整数值就会化成双阶乘形式；当不是整数但时，Beta 公式仍然能用，而普通“偶数/奇数点火”就不方便了。

考场判断顺序

遇到三角幂积分，按这个顺序看：

  1. 先看是不是、或。
  2. 再看角度区间，不是只看区间。必要时先令。
  3. 若角度区间能拆成标准象限，优先化成或。
  4. 若区间是、、，先用对称和奇偶。
  5. 若区间不是标准长度，别硬套点火公式，用带边界项递推或降幂公式。
  6. 若幂次非整数，或结构明显是，优先联想到 Beta 函数。

常见误区

  • 只看区间长度，不看角度变量。例如要先换。
  • 把当成的比例缩放。
  • 忘记奇次幂在跨象限时会变号。
  • 在上把误算成，其实它等于。
  • 对混合幂只会拆奇偶，忘记 Beta 函数是一条统一后路。

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