分部积分、积分递推与降阶

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方法选择

• 多项式乘高阶导数时连续分部积分，把导数移回函数，并优先利用端点条件。
• 三角幂积分用 或 Wallis 递推降两阶。
• 相邻项比值极限不必展开偶、奇子列；利用单调性和两步递推直接夹逼。
• 已知 而要求 时，写成二重积分并交换次序，权函数会自动出现。

必考

880 第3章综合填空 6

原题

设 ，且 ，则 ____.

解析

令 ，则，连续分部积分：

故 。

880 第3章综合填空 7

原题

设 , 则 ____.

解析

分部积分，边界项在 与 都为零：，令 ，得

880 第3章综合解答 17

原题

设 ，证明： .

解析

利用 ：，即 。又 于 ，所以 ，从而，同理 ，而 ，故

880 第3章综合解答 18

原题

设 .

（I）证明： ;

(Ⅱ) 求 .

解析

令 。关于 对称配对可得，Wallis 递推 立即给出（I）。

令 。由于 ，有 ；又，且 ，所以 。夹逼得

880 第3章综合解答 47

原题

设 , 求 .

解析

记 。令 ，得

又令 ：，所以

1000 基础篇第9章 18

原题

已知函数 ，则 ____

解析

。交换积分次序：

1000 基础篇第9章 20

原题

设 , 则 .

解析

由上题同样的换元，，其中 。利用 ：，因此

1000 强化篇第9章 10

原题

已知 , , 则 ____.

解析

由 ，。交换次序并令 ：

故

拓展

1000 强化篇第9章 18

原题

设 n 为非负整数, 则 ____ .

解析

对恒等式关于 求 阶导数，再取 ，得到

补充题

与的封闭函数组

原题

求，

解析

记，。先计算，对原积分取，：

余下三项均在同一函数组内：

因此

分部方向的判断依据是：与含相同分母，且的原函数会重新产生，计算过程不会引入陌生函数。

相关概念

• 分部积分回到原积分
• Wallis 递推与三角幂积分