考研笔记

常见积分公式总表：看到结构就想公式

一句话结论

这张表不是用来从头背完，而是配合积分计算方法选择使用：先判结构，再查对应标准块。

默认 为积分常数，。若题目是定积分或反常积分，套公式前还要先检查区间、端点和换元合法性。

考场识别顺序

  1. 先看能不能凑微分：、、、。
  2. 再看是不是分部积分：多项式乘指数/三角/对数/反三角。
  3. 再看是不是有理函数：先长除，再部分分式。
  4. 再看是不是三角幂：奇次拆一个，偶次降幂。
  5. 再看是不是根式：、、。
  6. 最后才对一般三角有理式用万能代换 。

1. 最基础的一组

幂函数、指数、对数：

最常用的凑微分形式：，特别地：

2. 一次式与二次式分母

一次式：，标准二次式：

一般二次式 的处理顺序是：先配方，再化成 、、 三种标准型。

例如 ，就走 。

3. 根式型积分

最常见三类根式倒数：

带根号本身的：

触发记忆：

结构第一反应
，或对数根式公式
，或对数根式公式

4. 反三角函数触发型

这组本质是标准函数导数的反向记忆：

考研里最后这个不如直接三角换元稳，不建议专门背反正割形式。

5. 三角函数基本积分

最基础：

两个容易忘的：

由恒等式得到：

6. 三角幂积分

平方降幂：

所以：

高次幂处理：

  • 若 中有一个奇数次幂，就拆出一个对应因子。
  • 若两者都是偶数次幂，优先用降幂公式。

例如 可写成 ，令 。

7. 正切、正割幂积分

的常用规则：

  • 若 为偶数，保留 ，其余用 ，令 。
  • 若 为奇数且 为正数，保留 ，其余用 ，令 。

典型例子：

8. 指数乘三角

这类做题优先直接记成“导数行在上、原函数行在下”的行列式形式，默认 ：

9. 分部积分常见模板

分部积分公式：，优先选择 的经验顺序：反三角对数幂函数三角指数，常见结果：

10. 有理函数积分

有理函数 的总原则是：先做多项式除法，再部分分式分解。

最常见分解块：

不可约二次因子：，先把分子拆成二次式导数的一部分加常数：，前半部分出 ，后半部分配方后出 或对数。

11. 三角有理式积分

一般形态是：，万能代换：

这样一定能化成有理函数积分。但它通常比较长，所以先看有没有更轻的代换：

  • 若 ，即对 奇，常令 。
  • 若 ，即对 奇，常令 。
  • 若 ，常令 。

直觉上：能用 、、 的简单代换，就不要一上来万能代换。

12. 定积分对称技巧

奇偶性：

为奇函数为偶函数

区间对称换元：，如果 ，且 ，则，特别常见：

例如：

13. Wallis 型积分

详细区间处理见：点火公式：三角幂积分的 Wallis 递推与区间处理。

设

递推公式：

所以：

混合幂积分可以用 Beta 函数：

14. Beta / Gamma 常见模板

Gamma 函数：

Beta 函数：

三种常见变形：

尤其：

15. 反常积分收敛性模板

无穷远处：

收敛发散

零点附近：

收敛发散

一般判断：在危险点附近把被积函数抓成等价主项。

  • 若 时 ，就和 比较。
  • 若 时 ，就和 比较。

指数压多项式：在 、 时收敛，并且可以化成 Gamma 函数。

易错点 / 使用边界

  • 公式表只管标准块，不替你判断换元是否合法。
  • 定积分先看区间结构，尤其是对称、周期和 断点。
  • 反常积分必须逐个危险点检查，不能只看无穷远或只看零点。
  • 有理函数积分先做代数拆分；不拆对，后面的公式很难救。
  • 三角有理式的半角代换是兜底法，不是第一反应。

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