有理函数积分：先拆标准块，再落到有理函数、、

这一页在记什么

有理函数积分的难点不在“积分技巧很多”，而在“先拆对标准块”。只要标准块拆对，后面的积分几乎全是固定模板。

总流程

1. 先看是否是假分式

若，先长除法。

2. 再做实数范围因式分解

把分母拆成：

• 一次因子；
• 不可约二次因子；
• 它们的重因式。

3. 按模板做部分分式

若有一次因子 ，写成，若有不可约二次因子 ，写成

拆完以后只会去这三类

• 有理函数项；
• 项；
• 项。

二次因子的核心动作

看到，先把分子拆成，原因是，于是前一半直接给出 ，后一半配方后给出 。

例：重二次因子的导数拼接

求，利用

两式相加并除以：

完整题目：重二次因子的标准积分。

一条特例：对称四次式的巧换元

若表达式里能拆出，并把整体改写成，就要警觉这组联动： ，因为

完整题目及对称巧解：四次式的实因式分解。

最容易踩的坑

• 假分式不先长除法。
• 重因式漏层。
• 二次因子上只写常数，不写一次式。
• 配方后把 这个系数漏掉。

一句最该记住的话

有理函数积分先用代数拆成标准块，再按固定模板积分。

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• 第 9 讲总览：第9讲：积分计算的结构识别与技巧清单