考研笔记

换元、根式、反三角函数与定义域控制

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方法选择

  • 根式 、、 分别对应三角、正割或双曲换元。
  • 出现 与其平方根时，令 ，可同时消去指数和根式。
  • 反三角原函数必须和当前连通定义域匹配；初值位于负支时，常用能自动保留符号的 。
  • 绝对值根式先找变号点并分段，端点瑕点按反常积分处理。

必考

880 第3章综合填空 10

原题

已知曲线 上任一点 处的切线斜率为 , 且曲线通过点 , 则该曲线方程为 ____.

解析

实值条件要求 ，初值点 所在的连通区间为 。在该区间上，由 得

1000 基础篇第9章 36

原题

设 ，求 的表达式.

解析

令 ，则 ，所以 。积分得

拓展

880 第3章基础解答 4

原题

求下列积分:

(I) ; (Ⅱ) (Ⅲ) (IV) (V) (VI)

解析

逐题计算：

（V）令 ，得到

最后注意，故

880 第3章基础解答 7

原题

求下列积分:

(I)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(IV)

解析

按变点 、、、 分段，分别得到

（IV）使用 。

1000 基础篇第9章 2

原题

计算不定积分 .

解析

令 ，则

1000 基础篇第9章 3

原题

计算不定积分 .

解析

分部积分后化简导数项：

再令 ，得到

1000 基础篇第9章 4

原题

计算不定积分 .

解析

令 ，分部积分后得

1000 基础篇第9章 5

原题

.

(A)2

(B)

(C) (D)

解析

令 ：

选 。

1000 基础篇第9章 7

原题

____.

解析

令 ，再令 ：

1000 基础篇第9章 10

原题

设 ，则 ____.

解析

由 得 。令 ：

1000 基础篇第9章 11

原题

若 是 的一个原函数, 则 .

(A)

(B)-1

(C)

(D)1

解析

由题意 ，故 。因此

选 。

1000 基础篇第9章 19

原题

设连续函数 满足 ，则 ____.

解析

由微积分基本定理，。令 ：

1000 基础篇第9章 21

原题

解析

在 处分段：

所以

1000 基础篇第9章 32

原题

解析

分部积分：

1000 基础篇第9章 33

原题

解析

令 ：，其中 ，，故

1000 基础篇第10章 14

原题

曲线 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ____.

解析

旋转体体积为，利用

得到

1000 强化篇第9章 1

原题

____.

解析

令 ：

1000 强化篇第9章 2

原题

求 .

解析

部分分式分解：

故

1000 强化篇第9章 3

原题

____.

解析

令 ：

1000 强化篇第9章 11

原题

设 , , 且 , 则 ____.

解析

，故，令 ：

1000 强化篇第9章 13

原题

求 .

解析

部分分式分解并积分：

所以

1000 强化篇第9章 15

原题

求

解析

令 ，再令 ：

1000 强化篇第9章 16

原题

求 .

解析

令 ：

1000 强化篇第9章 17

原题

求 .

解析

在 处分段并令 ：

1000 强化篇第9章 25

原题

求 .

解析

令 ，则

补充题

先消去复合根式

原题

求，

解析

在上令，则：，分部积分得

因此

若令，应先写，从而取正号。

的两条闭合路线

原题

求，

解析

通用解法令。此时，，原积分化为

由、，

另一条路线观察，将原式写成后分部积分，新积分与原积分只差，可列出关于的一次方程，得到同一结果。

正切换元跨越断点

原题

求，

解析

同除以后令，被积式化为。由于积分区间跨过，必须先拆区间：

因此

定积分换元前应核验换元函数在积分区间上的连续性和单调分支。

四次式的两种解法

原题

求，

解法一：实因式分解

在实数范围分解：，并作部分分式分解：

每个分子拆成“分母导数+常数”，两个二次式分别配方，得到

解法二：联动换元

先拆成

在不跨越的区间内，记

对，分子、分母同除以：

令

并利用，得到

对，同样除以：

令

并利用，得到

因此

由于，对有

故解法二可写成

这里除以将区间分成与，两个区间的积分常数可以不同。若要把原函数连续地接到并取，应在时补，在时补。解法一的反三角表示已经自动吸收这两个分支常数。

的有限维试探

原题

求，

解析

利用

两式相加并除以：

故

常规换元会把原积分化为，可得到相同结论。

半圆根式的双解法

原题

设，求，

解析

令，并取，则，从而

回代得

分部积分也可形成原积分方程。记，取、：

用，右侧最后一项化为，移项后得到同一公式。

相关概念

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