反三角函数：主值、恒等式与分支控制

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速记

主值范围

因此

而、、需要先把角折回相应主值区间。

高频恒等式

对，

判支原则

三角恒等式只能确定两个角相差周期整数倍。反三角函数恒等式还要核对主值范围：

先写出各反三角函数的值域。
再计算正弦、余弦或正切。
用象限、连续区间或一个基准点确定常数。
表达式跨过分母零点或三角函数间断点时，分区间处理。

代表题：反正切恒等式的局部分支与高阶导数。

函数画像

反正弦

在上，严格递增且为奇函数。在内，

它在上凹，在上凸；导数在时趋于正无穷。

反余弦

在上，严格递减，且，在内，

它在上凸，在上凹。

反正切

在上，严格递增且为奇函数，并有水平渐近线，其一、二阶导数为

它在上凸，在上凹。

反余切约定

若采用，则

不同教材可能采用其他主值区间，出现时先核对约定。

复合后的折返

对任意，

例如

对任意，

特别地，当时，

若，则，例如

直角三角形恒等式

令。由于，故，从而

根号前的正号来自主值区间。三角代换中的同类符号判断见三角代换回代：先定反三角范围，再定符号。

反三角函数之间的互化

由直角三角形恒等式可得

半角公式给出

的半角式在处按极限取值。

和差公式

和公式的完整分支

令，当时，，结合与的符号，得到

当时，

差公式的完整分支

令，当时，，结合，得到

当时，

差公式也可直接在和公式中把替换为。

两个高频特例

倍角形式为

时左端表达式无定义。

平移的形式为

时左端表达式无定义。在附近只使用第一支。

和公式的安全写法

令

先计算

当时，，故，当时，需要根据的正负补：

对，条件可保证，于是可直接使用第一条公式。差公式可令换成。

局部展开与等价关系

在附近，

因此

完整母展开见常用 Taylor 展开与高阶导数公式。

当时，

代表题：

常用不等式

对，由及被积函数严格递减，有，对，由及被积函数严格递增，有，合并得到

负数区间可利用奇偶性转换。

原函数

分部积分可得

采用时，

恒等式证明模板

方法一：三角函数加主值范围

设等式两边对应的角为：

证明、或。
写出所在区间。
根据象限和三角函数在该区间的单射性确定或所差的周期常数。

方法二：求导加基准点

若在某个连通区间内成立，则在内为常数。选取一个方便的计算常数。定义域被零点分成多个区间时，每个区间分别确定常数。

例如令，在处，，因此在和上分别为常数。代入得到左侧区间常数为；代入得到右侧区间常数为。这正是前面的分段恒等式。

边界核验

仅在内直接成立。
仅在内直接成立。
仅在内直接成立。
对反正切和差公式只取正切，会遗漏。
根式取非负值，符号由反三角函数主值区间决定。
局部求导题只需恒等式在求导点的某个邻域成立。
跨越处理时，两侧常数相差。

考研笔记