高阶导数、Leibniz、级数系数与递推

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方法选择

• 求一点的高阶导数：优先找该点 Taylor 系数，。
• 多项式乘光滑函数：Leibniz 公式中大部分项会因低阶导数为零而消失。
• 已知微分方程：先递推几阶，观察能否化成原函数的幂；只求一点时无需解出函数。
• 有理函数系数：用恒等式或分母递推，通常比连续求导短。

必考

1000 基础篇第4章 2

原题

设，则 ____。

解析

在 处，第一个因子为 ，其余因子为 。乘积求导中只有对第一个因子求导的项保留：

1000 基础篇第4章 9

原题

设可导的奇函数 满足 ，且 ，则 ____。

解析

奇函数给出 。由微分方程继续求导：，故 。

定义域边界：这些条件与 在 上相容。若额外规定 在包含 的整个区间上可导，奇性会给出 ，微分方程的初值唯一性将迫使 ，从而与 矛盾。原题只使用 所在的两个对称分支。

1000 基础篇第4章 11

原题

已知 ，则当 时， ____。

解析

在 内，， 的系数为 ，故

1000 基础篇第4章 18

原题

设 ，则 （ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

方法一：Taylor 系数法。

令 ，则。

先把 在 处展开：。因此

的系数为 ，故。

方法二：Leibniz 公式。

设 ，。由

在 处，（），，。所以只有 项保留：

选 。

1000 强化篇第4章 2

原题

设 在 的某邻域内具有连续导数，且，求 。

解析

先代入 ：，右端由可导函数复合而成，故可继续求导：，代入 、 得

1000 强化篇第4章 11

原题

设 在 处存在二阶导数，且，则 ____。

解析

分母为二阶无穷小，极限有限首先给出 、。于是

极限等于 ，故 。

1000 强化篇第4章 12

原题

设 ，则 ____。

解析

令 ，则 ，所以，把 改回自变量，。对 ，

1000 强化篇第4章 15

原题

设，则 ____。

解析

在 的邻域内，，由，可得

分支说明：上述恒等式只需在 的邻域成立，足以计算零点各阶导数。

反三角函数的主值范围、恒等式和分支修正见反三角函数：主值、恒等式与分支控制。

拓展

1000 基础篇第4章 10

原题

设可导函数 满足 ，且 ，则 （ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

，继续求导得 ，故 ，选 。

1000 基础篇第4章 17

原题

已知 ，则 ____。

解析

的五阶导数为 。Leibniz 公式给出，故 。

1000 强化篇第4章 13

原题

设 ，则 ____。

解析

利用 ：，第一项只含 ，第二项中 的系数为 ，故

1000 强化篇第4章 14

原题

设，则 ____。

解析，设 ，则 ，且，所以 。 的 系数为 ，从而 解法二

，所以 。于是 。再利用 ，只保留需要的低阶项即可，因此 。所以 的系数直接就是 ；则 。

相关概念

• 高阶导数构造 Taylor 展开
• Leibniz 公式与级数系数法