高阶导数与 Taylor 系数

🏠 返回总览：第4章：微分计算

系数与导数

若 在 处 阶可导，则其 Taylor—Peano 展开可写为，则，因此，只求一点的高阶导数时，找系数通常比连续求导更短。

代表题：$x^2\ln(1-x)$ 的高阶导数。

平移展开点

求 时令 ，把所有函数展开为 的幂。多项式因子 会直接抬高最低次数。

代表题：$(x-1)^{10}\sin x$ 在 $1$ 点的十一阶导数。

复合与分支

反三角恒等式只需在展开点附近选定连续分支。局部恒等即可决定该点全部阶导数。

代表题：反正切复合的局部分支。

最高可导阶

渐近式 只有在余项具有足够正则性时才能用于高阶可导判断。最稳妥的写法是提取光滑因子，或逐阶回到导数定义。

代表题：$|x|\sin^2x$ 的最高可导阶。

题型训练

• 高阶导数、Leibniz、级数系数与递推
• Leibniz 公式与级数系数法
• Taylor 公式与余项