最高可导阶与振荡平坦因子
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方法模板
对 ，逐阶比较左右导数；对 ，每求一次导数，振荡项最坏会损失 次幂。判定某阶导数在零点存在时，必须回到该阶导数的定义；判定导函数连续时，再检查去心邻域中的导数极限。
必考
880 第2章基础填空 13
原题
设，则 在 处存在的最高阶导数的阶数为 ____。
解析
光滑，只需考察 。其前两阶导数为
二阶导数在 处存在；三阶导数的左右极限分别为 ，故三阶导数不存在。答案为 。
880 第2章基础解答 5
原题
设
按题目在 的双侧均有定义，以下取 。问：
- 当 为何值时， 在 处不可导；
- 当 为何值时， 在 处可导，但导函数不连续；
- 当 为何值时， 在 处导函数连续。
解析
零点导数由决定。因此 时极限为 ； 时极限不存在。对 ，，已知 后， 的充要条件为 。故
若另将函数定义为 ，才可把 扩展到实数，并使用阈值 分类。
880 第2章综合选择 20
原题
设
其中 。若 在 处连续，则（ ）。
解析
令 ，，则右支为 。零点右导数为，它等于 需要 ，即 。对 ，，要使其趋于左侧导数 ，还需 ，即 。选 。
1000 强化篇第3章 14
原题
设
则在 处（ ）。
- (A) 连续，但 不存在
- (B) 存在，但 在 处不连续
- (C) 连续，但 不存在
- (D) 存在
解析，所以，该展开给出 、。选 。
1000 强化篇第4章 16
原题
设 ，则使 存在的阶数 的最大值为（ ）。
解析
写成
是零点附近的光滑偶函数，且 。转化为在能有几阶导。
因此前两阶导数在零点存在；三阶导数的左右主项分别来自 ，极限为 与 ，光滑余项的贡献趋于 。最大阶数为 ，选 。
常规方法
按左右分段写：
先在 处用导数定义：
对 求导。右侧，左侧，两侧 。再用二阶导数定义：，右侧，左侧，故 。
再看三阶。对 ，；对 ，，因此
左右极限不同， 不存在。所以最大阶数为 。
对话补充
平坦函数
原题
设
求 。
解析
先记核心估计：对任意 ，，令 ，左端化为 。
对 反复求导，每一阶都具有结构，其中 为多项式。先由定义得，若已知 ，则
因为指数衰减压过任意有限次幂。归纳得
同一估计还给出 ，所以每阶导函数都在零点连续，。函数在零点的 Taylor 级数恒为 ，而 时 ；这说明 不能推出函数在邻域内等于其 Taylor 级数。
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