第3章：导数定义、可导性与局部线性化
总题库：一元微分及其应用题库
核心概念
- 导数定义与局部线性化：差商、等价分母、单侧导数与从极限反推导数。
- 可导、连续与局部线性控制：一元可导与可微的关系，分段点和绝对值复合的检查顺序。
- 抽象函数的点处展开：把
翻译成一阶主部，处理复合增量和两个变动点。 - 点态导数与邻域导数性质：区分一点处的导数信息、去心邻域中的导数极限和邻域单调性。
- 零点附近振荡函数的振幅与正则性：判断连续、可导、导函数连续和最高可导阶。
- 积分上限函数的连续性与可导性：变上限积分、复合上限与含参被积函数。
- Taylor 公式与余项：从点处线性化继续提取高阶局部主项。
题型入口
复习顺序
- 用导数定义统一差商、微分和一阶局部展开。
- 检查分段点的函数值、连续性、左右导数，再处理绝对值和复合函数。
- 分清点态结论与邻域结论，掌握导数极限反推可导时所需的连续条件。
- 用振幅阶数判断振荡函数的正则性，并单独处理平坦函数。
- 最后处理积分定义函数和含参极限，把变上限积分的连续、可导条件写全。
章节衔接
- 求导结构：第4章：复合、隐式与高阶导数
- 几何应用：第5章：导数的几何应用
- 证明工具：第6章：中值定理与证明体系