导数定义与局部线性化

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等价语言

研究形如的极限， 在 处可导等价于（局部线性化）;

复合增量 时，

当外层分母为 时，有，最后一项 ，还要保留比例，若有极限，得到

代表题：两个变动点同时向同一点靠近、复合函数的二阶内层增量。

切线、法线与截距

局部线性式对应曲线在 处的切线，若 ，法线斜率为 ；切线与 轴的交点横坐标为， 时切线水平、法线竖直，不能套用倒数斜率或截距分式。

参数曲线还需先检查 ；若 ，切线竖直。

代表题：由极限反求切线、切线横截距的极限。

从极限反推导数

目标是证明 存在时，先把表达式整理成，并证明 。整体极限存在即可推出差商极限存在。

代表题：由平方差极限反推导数、由二阶小量反推导数。

等价分母

若，则

这只需要点态可导。使用洛必达法则还要核验去心邻域可导、分母导数不为零以及导数比极限存在。

代表题：$\ln x$ 作分母时的条件边界。

单侧差商

只沿 取极限得到右导数；只沿 取值也可能只控制一侧。要得到双侧导数，增量必须覆盖零点两侧，或分别证明左右导数相等。

代表题：四种伪装差商的充分性。

局部主项

未知函数题先展开已知部分到分母同阶，再隔离未知函数差商。参与主项相消的部分不能提前代值。

代表题：幂指函数主项与导数定义。

题型训练

• 第一部分题库：极限、连续与数列
• 补连续值中的导数定义
• 导数极限与平均斜率极限
• 导数定义与局部线性化
• 切线、法线、截距与局部线性几何
• 抽象函数的点处展开
• 常见伪装型导数定义

一元积分题型训练

• 短区间积分极限与固定区间缩放