绝对值、分段与复合可导性

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核心判定

绝对值只需检查其内部函数的零点。若 ，则 在 附近符号固定；若 且 在 处可导，则，此时 在 处可导的充要条件为 。分段函数依次检查点值、左右极限、左右导数；导函数连续还需检查两侧导数极限。

必考

880 第2章基础选择 10

原题

设 有一阶连续导数，，则 是 在 处可导的（ ）。

• A. 必要非充分条件
• B. 充分非必要条件
• C. 充分必要条件
• D. 既非充分又非必要条件

解析

第一项趋于 。第二项的左右极限分别为 与 ，故总差商存在当且仅当 。选 。

边界说明：这里用到 在 处连续；题设的 条件足以保证。若 ，第二项还可写成 ，极限为 。

880 第2章基础选择 11

原题

设 在 处连续，则 在 处可导的一个充分条件是（ ）。

• A. 存在
• B. 存在
• C. 存在
• D. 存在

解析

D 中令 。因 时 取遍 的双侧邻域，且 ，所以 D 等价于存在，即 在 处可导。选 。

C ，其中

A 只控制右导数；C 只给出对称导数；B 允许增量仅为 ，不足以控制普通差商。反例可分别取 、、。

880 第2章综合选择 4

原题

设 在 的某邻域内有定义，则 在 处可导的充分必要条件是（ ）。

• A. 存在
• B.
• C. 在 处可导
• D. 与 均存在，且二者互为相反数

解析

，故，右极限等于 ，左极限等于 。差商极限存在的充要条件正是两个单侧极限有限且，选 。 不参与判定，因为乘子 。

880 第2章综合选择 7

原题

设 由参数方程

确定，则下列选项中正确的是（ ）。

• A. 在 处连续
• B. 在 处不连续
• C. 不存在
• D. 存在

解析

令 。当 时，，故 。又 ，所以， 在 处连续，左右差商分别趋于 与 ，故 不存在。选 。

1000 基础篇第3章 2

原题

设 ， 在 处连续但不可导， 在 处可导， 在 处可导，则一定有（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D) 可以为任意实数

解析

若 ，由连续性知 在 的某邻域内不为零，且，可导函数之商在 处可导，与题设矛盾。因此 ，选 。

1000 基础篇第3章 7

原题

设函数 可导， 在 处不可导，则（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

若 ， 在 附近符号固定， 可导。故 。

若再有 ，则

仍可导。故 ，选 。

1000 基础篇第3章 10

原题

设

则 在 处（ ）。

• (A) 不连续
• (B) 连续，但不可导
• (C) 可导，但导函数不连续
• (D) 可导，且导函数连续

解析

。差商右侧为 ，左侧为 ，故 。

当 ，；当 ，。因此 在 处连续，选 。

1000 基础篇第3章 11

原题

设 具有一阶连续导数，，则 是 在 处可导的（ ）。

• (A) 充分必要条件
• (B) 充分非必要条件
• (C) 必要非充分条件
• (D) 既非充分又非必要条件

解析

因 ，本题与“光滑函数乘 ”同型。若 ，新增项的左右差商分别多出 与 ；若 ，则 ，其导数贡献为 。因此为充分必要条件，选 。

1000 基础篇第3章 15

原题

设，求 ，并讨论 的连续性及可导性与 的关系。

解析

按 与 的关系取极限：

除 外，各段连续可导。

在 连续要求，即 。在此基础上，可导还要求左右导数相等：，故：

• 时， 在全体实数上连续；否则在 处不连续。
• 时， 在全体实数上可导；其余参数下在 处不可导。

1000 强化篇第3章 3

原题

设

其中 为非零常数，则 在 处（ ）。

• (A) 不连续
• (B) 连续但不可导
• (C) 可导但 不连续
• (D) 可导且 连续

解析

，故连续；，故 。对 ，，第二项在 附近振荡，故 不连续。选 。

1000 强化篇第3章 5

原题

设

记 ， 可导，则 在 处（ ）。

• (A) 不连续
• (B) 可导且
• (C) 连续但不可导
• (D) 可导且

解析

，且 在 处可导，所以，除以 后趋于 ，选 。

1000 强化篇第3章 9

原题

设函数 在 的某邻域内可导且 。若 在 处也可导，求 ，并说明理由。

解析

由 ，

第一因子的极限为 ，第二因子的左右极限为 。整个差商存在只能有 ，故

1000 强化篇第3章 10

原题

设

其中 有二阶连续导函数，，。

1. 为何值时， 在 上连续？
2. 当 连续时， 是否可导？若可导，求 。

解析

由二阶 Taylor 公式，

因此 ，连续当且仅当 。

此时

处的值直接由导数定义得到；二阶可导条件足以保证该极限存在。

1000 强化篇第3章 11

原题

设 有二阶连续导函数，且 ，令

1. 求 ；
2. 讨论 在 处的连续性。

解析

对 ，，在 处，，又由

可得 。故 在 处连续。

1000 强化篇第3章 12

原题

设

讨论 在 处的连续性和可导性；若可导，讨论 在 处的连续性。

解析

两侧函数值都趋于 ，故连续。右差商趋于 ，左差商为，故 。

对 ，；对 ，，因此 在 处连续。

拓展

1000 基础篇第3章 14

原题

设 ，，且 不存在，，则 ____。

解析

在区间内的交点为 。两支在该点的导数分别为 ，故 。

1000 强化篇第3章 1

原题

函数的不可导点个数为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析，且 ，绝对值只在 产生候选尖点。又，其在 处导数为 。故无不可导点，选 。

1000 强化篇第3章 13

原题

设 在 处可导，则 在 处不可导的充分必要条件是（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

时局部符号固定， 可导； 时， 可导当且仅当 。故选 。

题库补充

四个绝对值差商能否推出可导

原题

设函数 连续。下列条件中，能推出 在 处可导的有几个？

1. 存在；
2. 存在；
3. 存在；
4. 存在。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

设 。有限差商极限先要求分子趋于 。

1. 条件 1 给出 。若 ，连续性使 在零点附近为正，条件就是导数定义；若 ， 的左右符号相反，有限双侧极限只能为 ，故 。
2. 条件 2 同样先给出 ，随后分子就是 。
3. 条件 3 先给出 ；由左右符号可知极限只能为 ，进而 ，所以 。
4. 若 ，连续性固定 的符号，条件化为 有极限；若 ，回到条件 3。

四个条件都能推出可导，选 。

二阶起跳的分段商式函数

原题

设 在 处二阶可导，且 ，定义

证明 在 处连续。

解析

由二阶 Peano 展开，

因此，对 ，

故 。分子从二阶起跳，除以一个 后得到一阶主部。

相关概念

• 可导、连续与局部线性控制
• 点态导数与邻域导数性质
• 零点附近振荡函数的振幅与正则性