可导、连续与局部线性控制

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可导推出连续

若 在 处可导，则

局部线性式为，可导提供函数增量的一阶线性主部，因此必然连续。连续只保证 ，不能保证 收敛。

绝对值复合

设 在 处可导。

• ： 在邻域内符号固定，，所以 可导。
• ： 在 处可导的充要条件为 。

当 时，

若 ，左右极限分别为 与 。

代表题：绝对值不可导的充要条件。

分段函数的检查顺序

在分界点 依次检查：

1. 点值与左右极限，确定连续性；
2. 左右差商，确定可导性；
3. 去心左右导数极限，确定导函数连续性；
4. 对 再作差商，确定二阶导数。

每一级条件都比前一级更强。

代表题：分段函数从连续到导函数连续、参数分段函数的最高可导阶。

微分

一元函数在点处可微与可导等价：

多元函数中偏导数存在不能单独推出可微；该区别见多元微分概念页。

题型训练

• 绝对值、分段与复合可导性
• 最高可导阶与平坦函数
• 点态导数与邻域性质