复合、隐函数、参数方程与反函数求导

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统一框架

隐函数：先核验，再用；二阶导用。
参数方程：；二阶导为，使用前检查。
反函数：，，。
极限中出现隐函数时，先求基点，再把极限还原为该点导数或高阶局部主项。

必考

880 第2章基础填空 1

原题

设由方程确定，则____。

解析

时，局部解满足。记，对方程求导：，在处，正弦平方为，故。原极限就是，隐函数定理的局部条件也成立：把方程移到一侧后，对的偏导在基点等于。

880 第2章综合填空 6

原题

设在处有三阶连续导数, , 有反函数 , 且 , 则 ____.

解析

由反函数恒等式连续求导。记一切导数都在、处取值。

一阶：，因，得。

二阶：，代入，得，三阶：，代入数据：，故

也可直接记三阶反函数导数公式：

本题，故。考试中连续求导更稳，不易漏掉中间项。

1000 基础篇第4章 8

原题

设函数由

确定，则在相应定义区间内（）。

(A) 连续，不存在
(B) 存在，在处不连续
(C) 连续，不存在
(D) 存在，在处不连续

解析

当时；当时。因此

在附近，

故，且两侧；但

不存在，选。

注

当然，本题可以不解出，参数法就是标准路线：若，且，那么在对应点直接用；若还要求二阶导，则用。

唯一要小心的是本题处有，所以本身不存在，不能在机械套，而要分别看和，必要时在连接点直接回到导数定义。

当时，，故；当时，，故。先判断，不能直接套参数求导公式，而用定义：当时，；当时，，因此。再看在的连续性，上面两侧的都趋于，所以在连续。

关键是。仍然最好直接用定义，因为这里正是拼接点：当时，；当时，。左右不等，因此不存在，选。

参数曲线不必消参，普通点直接用、

但遇到、分段、或不存在，改用的导数定义分别检查左右。

1000 基础篇第4章 12

原题

设，则 ____。

解析

故，从而。

1000 基础篇第4章 13

原题

设，则 ____。

解析

极限函数为，故

1000 基础篇第4章 16

原题

若

则____。

解析，再对求导并除以：

代入得。

1000 强化篇第4章 3

原题

设由确定，且，则____。

解析

设。在处，局部解二阶可导。由得。再用二阶隐函数公式：，在处得到，故，于是，所求极限为。

1000 强化篇第4章 4

原题

设函数由确定，求与。

解析

在所取分支上令

原方程给出，并可写成

因此

对再求导：

除以，得

公式适用于且给定反正切分支可连续选取的局部曲线段。

1000 强化篇第4章 6

原题

已知由

确定，则____。

解析

时积分为，故。第一式给出。第二式对求导：，代入得。因此

1000 强化篇第4章 8

原题

设由确定，则 ____。

解析

令，。方程一阶求导得，再求导：，时，且

故。

1000 强化篇第4章 9

原题

设函数由

确定，则 ____。

解析

时。设。一次隐式求导得。二次求导公式在处给出。又，所以

1000 强化篇第4章 10

原题

设由确定，则____。

解析

时。对求导：，在处得到。原极限为

拓展

1000 基础篇第4章 1

原题

设，，其中可导，且，则（）。

解析

，故，得到。选。

1000 基础篇第4章 3

原题

设可导，，。若，则 ____。

解析

，故在附近为负，。于是。

1000 基础篇第4章 4

原题

设可导，。若，则（）。

解析

链式法则给出

选。

1000 基础篇第4章 5

原题

已知满足，，则____。

解析

由方程直接取倒数：。在处为。

1000 基础篇第4章 7

原题

设

则 ____。

解析

时。隐式求导得，故；又，所以答案为。

1000 基础篇第4章 15

原题

曲线

在对应点处的切线方程为 ____。

解析

对应点为，且、，斜率为。切线为

1000 强化篇第3章 6

原题

设由

确定，则

（）。

解析

对应。参数导数给出

自变量增量为，故极限为，选。

1000 强化篇第4章 1

原题

若，则 ____。

解析，故答案为。

1000 强化篇第4章 5

原题

设，求其反函数的二阶导数。

解析

，反函数在全体实数上存在且可导。由再对求导或直接，得

1000 强化篇第4章 7

原题