考研笔记

参数微分法：用参数求导制造积分里的复杂因子

这一页在记什么

参数微分法通过引入参数，把复杂因子转化为参数导数：

先构造一个含参数的简单积分族，再对参数求导制造题目里的复杂因子。

母结构

要求，不要对 反复分部积分。构造，对参数 求导，，继续求导得到，因此

另一方面，当 时，，所以

取 ，得到

TODO 链接题目

参数求导如何产生

这里对参数 求导，积分变量 在该步视作常量。

把 看成 后，它和最普通的指数函数一样：，只不过这里的 是 。所以每对 求一次导，就从指数里掉出一个 。

交换求导与积分的条件

对有限区间上的积分，若 与 在 上连续，则 在参数区间 内可导，且，含瑕点或无穷区间时，需要在目标参数附近找到与参数无关的可积控制函数。具体地，若存在邻域 和可积函数 ，使

再配合逐点连续性，即可用控制收敛定理交换求导与积分。

对 ，固定 ，取充分小的 使 。当 时， 阶参数导数满足，右侧在 上可积，因此可逐次把参数导数移入积分号。对 ，固定 后可用 控制目标邻域内的 阶参数导数。

常见制造器

1. 指数参数制造对数

适合：

后一类常和 Beta 函数相连。

2. 指数衰减参数制造

设，因为，所以

于是

这就是 Gamma 函数在整数幂情形下的一个入口。

3. 频率参数制造三角积分里的

所以如果已经知道或它的定积分形式，对 求导就能得到带 的积分。

4. 分母参数提高分母次数

所以可以先算，再通过对 求导得到更高次分母。

什么时候想到它

看到下面信号时，先问一句：这个因子能不能由某个参数求导制造？

  • 题目有 ；
  • 有 ；
  • 有 ；
  • 分母次数很高，但只差一个参数；
  • 已经出现 Beta、Gamma 的影子。

考试里怎么写

普通题里不用展开讲“Feynman trick”。写法可以很朴素：

  1. 构造 ；
  2. 说明 正好等于题目所需积分；
  3. 先算出 ；
  4. 对 求导；
  5. 代入参数值。

一句最该记住的话

可由对参数求次导产生。

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