第13章：多元函数微分学总览

多元函数在一点附近的局部变化由

控制。基础判断、链式求导、隐函数、梯度几何、极值与 PDE 换元都围绕局部线性结构展开。

题号核对入口：多元函数微分学题库。

极限、偏导与全微分

概念

• 多元极限：路径、平衡路径与放缩
• 偏导、连续、可微与全微分
• 积分号下求导
• 含参数极限与偏导的运算顺序

题型

• 多元极限、连续、偏导与可微性
• 多元链式法则与高阶偏导
• 全微分判定与函数还原

隐函数与齐次结构

概念

• 多元隐函数与方程组求导
• Euler 算子、齐次性与坐标方向

题型

• 隐函数、方程组与高阶导数
• 齐次函数、Euler 公式与方向算子

梯度与空间几何

概念

• 方向导数与梯度
• 切平面、法线、切线与法平面

题型

• 方向导数、梯度与切平面几何

极值与最优化

概念

• Hessian 与二元函数极值判别
• 条件极值与 Lagrange 乘数法

题型

• 无约束极值、局部主项与退化驻点
• 条件极值、距离与几何最优化

PDE 与坐标变换

概念

• 二阶常系数算子的特征方程
• PDE 坐标变换与最大值原理
• Euler 算子与方向算子

题型

• 偏微分方程、坐标换元与最大值原理

复习顺序

1. 用多元极限、偏导定义和可微标准建立基础关系。
2. 练链式法则、全微分还原和含参积分，固定变量层次。
3. 练隐函数、齐次函数与 Euler 算子，掌握整体求导。
4. 连接梯度、切平面与两曲面交线，再处理无约束和条件极值。
5. 最后训练常系数 PDE 换元、边界条件和内部极值反证。

前后衔接

• 前置基础：极限、连续与数列递推
• 一元微分：导数、微分与 Taylor 展开
• 几何延伸：局部线性结构、几何应用与场论
• 多元积分：多元函数积分学