考研笔记

隐函数、方程组与高阶导数

单个隐函数

设 在考察点满足 ，则局部可确定 ，且

求二阶偏导时，优先保留隐式方程并再次求导。若考察点还是 的驻点，则 ，公式大幅简化：，对应题目：单点二阶偏导、隐函数极值短算。

方程组

方程组先对自变量求导，再把未知导数组成线性方程组。用行列式写答案之前，先明确自变量和被确定变量。对应题目：中间参数消元、两个隐函数联立求导。

题目

880 第5章 基础解答 1【拓展】

原题

设 由方程组

确定，求 。

解析

对 求导并整理：

当 时，由克拉默法则

880 第5章 基础选择 5【必考】

原题

设经过点 ，则在该点的某邻域内，此方程（ ）。

  • (A) 可确定 和
  • (B) 可确定 和
  • (C) 可确定 和
  • (D) 只能确定

解析

令，在 处，

非零，分别可解出 与 ； 不能用隐函数定理保证解出 。选 。

880 第5章 基础填空 6【必考·代表题】

原题

设

有一阶连续偏导数，求 。

解析

把 看作中间隐函数。对两式求导：

联立消去 ，得

各偏导在对应的 或 处取值，且分母需非零。

880 第5章 基础填空 7【拓展】

原题

设 由确定，求 。

解析

代入 得 ，故 。令左端减去 为 ，则在该点

因此

880 第5章 基础填空 10【必考】

原题

设 由确定，求 。

解析

一阶偏导为

对 关于 求导：

880 第5章 综合选择 8【必考】

原题

设 在 的某邻域内有二阶连续偏导数，且

则由 确定的 在 处（ ）。

  • (A) 取得极小值
  • (B) 取得极大值
  • (C) 不取得极值
  • (D) 不能确定

解析

由 可确定 ，且，再次求导并在 使用 ：，故取得极小值，选 。

880 第5章 综合解答 3【必考】

原题

设 与 均由确定，求 。

解析

题意是将 代入 ：，沿 求导，记 ：，再令 分别表示 对两个自变量的偏导。由 对 求偏导：

代回并解出 ：

分母需非零； 在 处取值， 在 处取值。

880 第5章 综合解答 10【必考】

原题

设 由确定，求 的极值。

解析

令左端为 。驻点满足 ：

得 。代入 得 ，候选点为

驻点处短算二阶偏导。 两点均有 。由 再求偏导，并代入驻点条件 ，得 ；混合偏导及对 求导同理。因此，在驻点处记

用熟悉的二元极值判别法：

  • 在 处，，，故 为极小值。
  • 在 处，，，故 为极大值。
为局部极小值为局部极大值

880 第5章 综合解答 15【必考】

原题

设 由

确定，求 。

解析

记 。对 求导得

因此

其中系数矩阵行列式 需非零。矩阵式已经完整给出两导数，展开时可直接用克拉默法则。

1000 基础篇第13章 4【拓展】

原题

设 由确定，求 。

解析

在 处先由原方程得 。令左端减 为 ，则

所以

1000 基础篇第13章 11【必考】

原题

设 可导， 由确定，其中 连续， 有连续导数，且 。求，

解析

隐式求导得

又 ，故两项相消：

1000 强化篇第13章 11【必考】

原题

设 由 确定，求，

解析

记 ，则

从而， 时原方程给出 ，故

1000 强化篇第13章 12【必考】

原题

设 由确定，求 。

解析

在 处由原方程得 。令左端减 为 ，则

所以

1000 强化篇第13章 14【必考】

原题

设 由确定，求 。

解析

在 处有 。全微分方程为，故

1000 强化篇第13章 15【必考】

原题

设 由确定，求 。

解析

在 处 ，故 。利用同型一般公式：，得到

1000 强化篇第13章 18【必考】

原题

设 由确定，求 。

解析

在 处 。令左端减 为 ，则

对 再关于 求导：，在该点 ，故

1000 强化篇第13章 19【必考】

原题

方程在 附近确定 ，求 。

解析

记左端为 。在考察点

故

与 无关，而 。对 关于 求导：，因此

1000 强化篇第13章 20【必考·代表题】

原题

设 有二阶连续偏导数， 由确定，求 。

解析

令

一阶隐式求导给出

由

得到

对 使用商法则：

分子是 Hessian 在方向 上的二次型。

1000 强化篇第13章 21【必考】

原题

设，其中 由

确定，求 。

解析

时第一式给出 ，第二式给出 。第一式求导得

第二式求导并代入 ：

因此

隐函数极值的驻点短算【必考·代表题】

来源

  • 1000 强化篇第13章 26
  • 旧题页“隐函数极值：驻点处二阶偏导可以短算”

原题

求由确定的 的极值，并指出极大、极小类型。

解析

令左端为 。驻点满足

即 。代入 得，故候选点为

两点均有 。驻点处

。第一点 ，Hessian 正定；第二点 ，Hessian 负定。因此

为局部极小值为局部极大值

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