多元微分学基础三件套：混合偏导、偏导定义、全微分

它解决什么问题

多元微分学最基础的题型可以先压成三件事：

混 合 偏 导 还 原 增 量 偏 导 定 义 查 边 界 全 微 分 判 交 叉 偏 导

这三件事分别对应“还原函数值”“判断偏导存在”“判断是否是某个函数的微分”。

核心定义 / 定理 / 结论

混合偏导还原函数

若已知和两条坐标轴边界，则

它是“由导数还原函数增量”在二维情形中的表达。

偏导定义查边界

偏导是固定另一个变量后的普通一元导数。例如求时，固定，只让变。

若函数里有、、这类结构，边界点必须回到定义：

全微分判定

若，则，在偏导连续的区域内必须满足

也可以反过来先由积分出势函数，再求。

对哪个变量积分，就补上“只含另一个变量的任意函数”。这和一元积分补是同一个道理。

全增量、线性增量与可微

设，在点附近给变量增量，并记，函数的全增量是函数值的真实变化：

如果在处可微，那么全增量可以拆成

其中线性主部

这个线性增量称为全微分，它给出的一阶近似。

所以可微的本质是：

换句话说，真实增量和线性增量之间只差一个比距离更小的高阶无穷小。

用全微分算极限

如果已知在处可微，求

就先比较与偏导数：

若，则分子就是，极限为。
若不是偏导数对应的线性主部，通常会剩下一阶项，极限可能不存在。

特别要注意：

若线性主部不为零，则会随方向变化，一般没有二重极限。只有时，才可以直接推出

例：径向主项不是线性主部

若，且

令，则条件等价于，即，因为不是线性函数，所以不能当作全微分。要让在原点可微，必须让这个非线性的一阶主项消失：，所以当且仅当

时，，此时，并且

可微要求一阶主项必须是线性函数；只有一阶大小还不足以推出可微。

隐函数方程组求导

单个隐函数方程中，若，可以确定，并且，方程组情形只是把“除以偏导数”升级成“除以雅可比行列式”。

设

如果在考察点处

则可以在该点附近把看成的函数：，对方程组两边同时关于求导：

这是关于的二元一次方程组。用克拉默法则解得

和

展开看就是

记忆方式：

分 母 放 被 确 定 的 变 量 ， 分 子 把 要 求 导 的 那 个 变 量 替 换 成 自 变 量

例如求，就在分母中把换成，得到，再加负号。

如果题目改成由方程组确定，就把分母换成，关键永远是：先确定谁是自变量、谁是被确定的函数，再写对应雅可比行列式。

概念关系图

下面的实线表示“一定能推出”，虚线表示“一般不能推出”。这里的“分别连续”指只沿方向或只沿方向看成一元函数时连续，它弱于真正的二元连续。

flowchart LR
    C5["⑤ 一阶偏导连续<br/>在点附近存在且在点连续"] --> C4["④ 可微<br/>Δz = dz + o(ρ)"]
    C4 --> C2["② 连续<br/>lim f = f(P)"]
    C2 --> C1["① 二重极限存在"]
    C4 --> C3["③ 一阶偏导存在"]

    C2 --> S["②' 分别连续<br/>关于 x、y 单独连续"]
    C3 --> S

    C1 -. "不能推出" .-> C2
    C2 -. "不能推出" .-> C3
    C3 -. "不能推出" .-> C2
    C3 -. "不能推出" .-> C4
    C4 -. "不能推出" .-> C5
    S -. "不能推出" .-> C1

最重要的主链是：

一 阶 偏 导 连 续 可 微 连 续 极 限 存 在

另有一条旁支：

可 微 一 阶 偏 导 存 在

但“一阶偏导存在”本身很弱。它只说明沿两条坐标轴方向的一元变化可控，不能推出二元极限存在，也不能推出连续，更不能推出可微。

典型题型

已知、、：用矩形增量公式。
求的偏导：先分、、，再补。
判断是否全微分：先算，再筛选，同时检查定义域。
用可微性算极限：先写，再看线性主部是否被题目减掉。
判断抽象函数可微：把题目给的极限改写成“线性主部 + 高阶小量”，检查一阶主项是否真的是。

常见误用

看到偏导就直接套一元公式，忘了绝对值边界。
对的偏导只看左右表达式，没有回定义。
全微分题只看，却没发现候选函数在题目区域内无定义。
以为。实际上只有。
把这种一阶大小的量误认为线性增量；它是一阶齐次，但不是线性函数。

考研笔记