考研笔记

全微分、混合偏导与函数还原

全微分判定

若，且 有连续一阶偏导，则必须有

在单连通区域内，该条件也足以保证存在势函数。选择题还要检查候选函数在题设区域内是否处处有定义，见交叉偏导与定义域。

还原势函数时，对 关于 积分：，再用 求 。对应题目：由全微分求函数、先定参数再还原函数。

混合偏导与边界数据

已知 与两条相交边界时，矩形增量公式为

边界若改为 与 ，可以逐次积分，并用两条边界确定积分中出现的单变量函数。见坐标轴边界、错开的两条边界。

题目

880 第5章 基础填空 9【必考】

原题

设 的全微分为，则 。

解析

对 关于 积分：，再求 ，与题设比较得 。因此

880 第5章 基础填空 14【必考】

原题

设为某二元函数的全微分，则 。

解析

令

计算得

恒有 要求 且 ，故 。

混合偏导与两条坐标轴边界【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 7
  • 旧题页“混合偏导与两条边界：矩形增量还原函数值”

原题

设 具有二阶连续偏导数，且

求 。

解析

矩形增量公式给出，因此，从而

880 第5章 综合填空 1【必考】

原题

设 有二阶连续偏导数，满足

则 。

解析

由矩形增量公式，

1000 基础篇第13章 10【拓展】

原题

设 ，，且是某二元函数的全微分，则 可取为（ ）。

  • (A)
  • (B)
  • (C)
  • (D)

解析

有，所以要求 。(B)、(D) 都满足交叉偏导条件，但题设区域 包含 ，(D) 在 无定义。选 。

势函数也可直接写为

故 。

880 第5章 综合解答 11【必考】

原题

设可微函数 在点 处沿 与 的方向导数分别为 与 ，且 。

  1. 求 。
  2. 求 在

上的最大值。

解析

两个方向均为单位向量，因此

即 。积分得，由 得 。

内部驻点为 ，函数值为 。三条边分别考察：

  • ：；
  • ：；
  • ：。

最后一式的导数为 ，区间内驻点为 ，对应 ，函数值为 。与各边端点及内部驻点比较，

在处取得

880 第5章 综合解答 12【必考·代表题】

原题

设，且 。

  1. 求 。
  2. 求点 到曲线 上的点的最大距离。

解析

全微分条件给出，故 。再由 得 。积分并使用 ：

曲线条件为 。令 ，则

实数 存在要求

距离平方为

故最大值在 时取得：

此时 ，对应点为 与 。

1000 基础篇第13章 23【必考】

原题

设

  1. 求 。
  2. 求 的极值。

解析

关于 积分：，代入 得 ，故，驻点方程为

得到 与 。在 处 Hessian 行列式为 ，是鞍点；在 处

故取得局部极小值

1000 强化篇第13章 5【必考】

原题

设函数 的全微分为，其中 有二阶连续导数，且 ，求 。

解析

令 。由 ，，令 ，解 得， 给出 ，再积分：，由 得 ，故

1000 强化篇第13章 13【拓展】

原题

已知

是某二元函数的全微分，则 （ ）。

  • (A)
  • (B)
  • (C)
  • (D)

解析

令 ，则

恒有 给出 ，选 。

1000 强化篇第13章 33【必考】

原题

设 具有二阶连续偏导数，且

  1. 求 。
  2. 求 的极值。

解析

先对 积分，并使用 ：，再对 积分，并使用 ：

令，驻点为 。在 处 Hessian 负定，故有局部极大值 ；在 处 Hessian 行列式为 ，均为鞍点。因此

的局部极大值为无局部极小值

1000 强化篇第13章 34【必考】

原题

设 具有二阶连续偏导数，且

求 在约束 下的最大值与最小值。

解析

由 逐次积分并使用两条边界数据：

令 ，则约束变为 ，目标函数为，由 ，

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