多元极限、连续、偏导与可微性

判定主线

在点附近记，可微的标准形式为，其中 ，。一阶主项必须是关于 的线性函数；、、 都不能充当全微分。

常用关系：

• 一阶偏导在点的邻域内存在且在该点连续，可以推出该点可微。
• 可微可以推出连续和一阶偏导存在。
• 一阶偏导在一点存在，只能控制两条坐标方向上的一元切片。
• 两个混合偏导在一点可以一存一失；交换次序需要邻域内的连续性条件。

对应题目：不可微时一定失效的条件、偏导存在能推出什么、混合偏导次序。

边界点与分段函数

求 时固定 ，回到一元定义，含绝对值、根式、分段定义时，先分普通点，再单独检查分界线。对应题目：$\sqrt{|xy|}$ 的偏导、$|x|+y|y|$ 的偏导。

用局部主项判断连续、可微与极值

若，则 是线性函数时可直接读出全微分；若主项为定号的非线性量，可用于判断极值，同时还要单独核验可微性。

对应题目：径向一阶主项、根式复合中的隐藏余项、由二阶小量读出全微分。

题目

880 第5章 基础选择 1【必考】

原题

设 ，则下列选项中正确的是（ ）。

• (A) 存在， 存在
• (B) 不存在， 存在
• (C) 不存在， 不存在
• (D) 存在， 不存在

解析

沿 方向，，故的左右极限分别为 ，所以 不存在。沿 方向，，所以 。选 。

880 第5章 基础选择 2【必考】

原题

设 均存在，则下列选项中正确的是（ ）。

• (A) 存在
• (B) 在 处连续
• (C) 存在
• (D) 在 内有定义

解析

存在，说明一元函数 在 可导，因此在 连续：，偏导只要求函数在两条坐标方向的小线段上有定义，不能推出二重极限、二元连续或整个去心邻域内有定义。选 。

880 第5章 基础选择 3【必考·代表题】

原题

设

则正确的是（ ）。

• (A) 存在， 存在
• (B) 不存在， 存在
• (C) 存在， 不存在
• (D) 不存在， 不存在

解析

按定义逐层求导。

先求 。当 时，

而 。因此 在 处跳变，不存在。

再求 。当 时，

时也有 ，故 ，从而，选 。

边界说明

混合偏导的存在性只涉及两条经过原点的偏导函数切片。题目没有给出混合偏导在邻域内连续，不能交换求导次序。

的偏导【必考】

来源

• 880 第5章基础选择 4
• 1000 基础篇第13章 9
• 旧题页“含绝对值根式的偏导：分区与边界点定义”

原题

设 ，求 。其中 880 题的选项为：

• (A) 当 时，
• (B) 当 时，
• (C) 当 时，
• (D) 当 时， 不存在

解析

写成 。普通点直接求导，分界线回定义：

其中当 时，

无有限极限。880 题选 。

880 第5章 基础选择 8【必考】

原题

设 在点 的某邻域内有定义，且 ，则（ ）。

• (A)
• (B) 曲线 在点 处的切向量为
• (C) 曲面 在点 处的法向量为
• (D) 必存在

解析

交线可参数化为 ，故，全微分和曲面法向量公式都需要可微性；两个偏导存在也不能保证二重极限存在。选 。

880 第5章 基础填空 1【拓展】

原题

解析

分子、分母在 连续，且分母非零，直接代入得

880 第5章 基础填空 2【拓展】

原题

解析

利用，有，故答案为 。

880 第5章 基础填空 3【拓展】

原题

解析

取对数：

原极限为 。

880 第5章 综合选择 1【必考】

原题

设 在点 处不可微，则下列命题中一定不成立的是（ ）。

• (A) 在 处不连续
• (B) 在 处两个偏导数均存在且偏导数连续
• (C) 在 处两个偏导数均存在且至少有一个不连续
• (D) 在 处沿任何方向的方向导数均不存在

解析

若两个一阶偏导在点的某邻域内存在并在该点连续，则函数在该点可微，与题设矛盾。其余三项都可能发生。选 。

880 第5章 综合选择 4【必考·代表题】

原题

设

则 在点 处（ ）。

• (A) 连续但不可微
• (B) 偏导数存在但不连续
• (C) 可微
• (D) 连续但偏导数不存在

解析

记 。因为 有界，，所以 在原点连续。

沿坐标轴求偏导：

线性主部为 。利用 时，有

故 在原点可微，且 。选 。

880 第5章 综合选择 5【必考】

原题

设，则在点 处（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D) 不存在

解析

直接由定义得 。记 ，在 附近 有正下界，且 ，所以

因此，故 ，选 。

径向一阶主项【必考·代表题】

来源

• 880 第5章综合选择 6
• 880 第5章拓展解答 1
• 1000 强化篇第13章 4
• 旧题页“径向主项与可微性：一阶大小不等于线性主部”

原题

设 在 的某邻域内有定义，，且

1. 讨论 在 处的连续性。
2. 当 为何值时， 在 处可微？求 。
3. 当 时，判断 是否为极值点。

解析

记 。题设等价于，因此 ，对任意 都在原点连续。

若 在原点可微，则存在常数 使，沿 且分别取 ，得到

故 ；同理 。反过来，当 时，，所以 可微且

当 时，取 ，充分靠近原点时对所有 成立。因此原点是严格极小值点。880 综合选择 6 选 。

880 第5章 综合填空 3【必考】

原题

设 对任意 满足

则

解析

两点到 的距离均为 ，故

因此原极限为

880 第5章 拓展选择 1【必考】

原题

下列哪个条件能够推出函数 在 处可微，且 ？记 。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

令 。全微分为零的可微条件是 。

• (A) 只有偏导为零，条件不足。
• (B) 随方向变化。
• (C) 。
• (D) 。

选 。

原点连续性：路径否定与放缩肯定

原题

设 ， 在 点连续，则当 时， 可能为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

连续要求，(A) 沿 趋于 ；(B) 沿 恒为 ，均排除。

对 (C)，

故在原点连续。

对 (D)，分母中 与 沿 同阶：

极限依赖 ，故不连续。选 。

路径选择模板

• 否定极限：先试 、、；出现 时再试平衡路径 。
• 肯定极限：构造与路径无关的上界，再用夹逼定理。
• 直线路径全部给出同一结果，仍需检查曲线平衡路径。

1000 强化篇第13章 1【拓展】

原题

设 ，则（ ）。

• (A) 存在， 存在
• (B) 存在， 不存在
• (C) 不存在， 存在
• (D) 不存在， 不存在

解析无极限，故 不存在；而，故 。选 。

1000 强化篇第13章 7【必考】

原题

设函数 连续，且

则 。

解析

有限极限先给出

记 ，则，后二项均为 ，故

余项判可微补充训练

伪线性主项：反正切复合

原题

设

则 在 处（ ）。

• (A) 连续但不可微
• (B) 可微，且
• (C) 可微，且
• (D) 偏导数不存在

解析

记 。当 时，，因此，余项满足

故 可微，且

选 。

非整次余项的统一放缩

原题

设，则 在 处（ ）。

• (A)
• (B) 可微，且
• (C) 可微，且
• (D) 偏导数存在，但不可微

解析

令 。线性主部为 ，余项为 。由 ，

故

选 。

用极坐标 时，同一余项商可估计为

上界与 无关，这是极坐标证明可微时必须保留的一致性。

偏导存在但不可微

原题

设

则 在 处（ ）。

• (A) 不连续
• (B) 连续且可微
• (C) 连续，两个偏导数均存在，但不可微
• (D) 连续，但至少有一个偏导数不存在

解析

由知 连续。按定义得 ，候选线性主部只能是 。然而

令 ，上式化为，其值依赖方向，不趋于 。故不可微，选 。

由 直接读全微分

原题

设 ，且

则 在 处（ ）。

• (A) 可微，且
• (B) 可微，且
• (C) 可微，且
• (D) 只能说明两个偏导数存在

解析

题设等价于，故 在原点可微，且

选 。

链接

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• 概念：偏导、连续与全微分