考研笔记

链式法则、复合变量与高阶偏导

变量层级

对，先写中间变量，再求

题目给出 的函数值而要求 时，有两条路线：

高阶偏导

二阶链式法则按“一阶结果再求一次”最稳妥。每次先列 ，再追踪外层一阶、二阶偏导。见二元复合函数的混合偏导。

有理函数的高阶导优先部分分式，见高阶偏导通项。变限积分优先先选求导次序，使 Leibniz 公式最短，见含参积分的混合偏导。

题目

880 第5章 基础填空 4【拓展】

原题

设 ，则 。

解析

取对数：，故

在 处 ，所以

880 第5章 基础填空 5【必考】

原题

设函数 可微，且，定义 ，则 。

解析

令 ，则

再对 求导：

880 第5章 基础填空 8【拓展】

原题

设，则 。

解析

记 。由变上限积分求导，

，故 。

880 第5章 综合选择 9【必考】

原题

设 有一阶连续偏导数，且，，则 （ ）。

  • (A)
  • (B)
  • (C)
  • (D)

解析

展开式给出 。令 ，在 处

所以，选 。

880 第5章 综合填空 2【必考】

原题

设，则

解析

先作部分分式：，因此

代入 ：

1000 基础篇第13章 1【拓展】

原题

设，求 。

解析

题面第二个坐标仍写作 ，为避免变量重名，记考察点为 。令 ，则

在 处，，故

将 改回题面记号即可。

1000 基础篇第13章 5【拓展】

原题

设，则 。

解析

令 ，，则 。由 Leibniz 公式，

故

1000 基础篇第13章 6【必考】

原题

设函数满足

求 。

解析

固定 ，由对 积分：，代入 ，得到，由于 遍历 ，故 对 成立。在 处，只要题设中的偏导存在，区间内侧的差商也迫使 。因此

该方法不需要补充 连续这一额外条件。

先还原目标函数【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 8
  • 旧题页“复合变量给定函数值：先还原 再求偏导”

原题

设，求 。

解析

令

由 、 得

于是，故，将目标函数的自变量重新记作 ：

边界说明

变换要求 且 ；所得表达式在对应可逆区域内成立。

1000 基础篇第13章 12【必考·代表题】

原题

设 具有二阶连续偏导数，且，求 。

解析

令 。先求，再对 求导，并使用 ：

各阶偏导均在 处取值。

1000 强化篇第13章 8【必考】

原题

设 具有连续偏导数，。若，则 。

解析

在 处，

解得 ，故答案为 。

1000 强化篇第13章 9【必考】

原题

设函数 在 时满足，求 。

解析

令 ，则 ，所以，因此 ，即 ，故

1000 强化篇第13章 10【必考】

原题

设，则 。

解析

先对 求导只产生上限项：，再对 求导：，代入 得

选择先求 可以避开被积函数对 的参数求导项。

含参积分在无穷处的偏导极限

原题

设，求 。

解析

按题面记号理解为，上限 和被积函数都含 ，Leibniz 公式给出

令 ，再令 ：，其中 ，且

因此

运算顺序

若先取 ，当 时

从而 。两种顺序给出同一结果，依据是指数衰减对被积函数及其 偏导提供了可积的一致控制。一般含参反常积分中，交换极限与求导前应单独核验这类控制条件。

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