Gamma 函数：幂函数乘指数衰减的标准定积分

这一页在记什么

只要看到这类“幂函数乘指数衰减”的反常积分，就该想到 Gamma 函数。

定义

为什么收敛

• 在 附近看 ，要求 ；
• 在 附近由 压住任何幂函数。

递推公式

分部积分可得，因此

最常用的尺度变换

若 ，则

特别地，

半整数值

必须记住，所以

和 Beta 的连接

只要题目里同时出现和就要想到它们常会和 Gamma 连起来。

最常用的关系是，特别地，，再配合余元公式

就能秒掉很多这一类反常积分。

更一般的换元模板

若，则

识别信号

看到下面任一形式都该立刻怀疑 Gamma：

一句最该记住的话

Gamma 函数就是“幂函数乘指数衰减”的标准积分名字；做题时先把指数部分换成 ，再把幂次配成 。

链接

• 第 9 讲总览：第9讲：积分计算的结构识别与技巧清单
• Beta 函数：把 $(0,1)$ 型、三角幂型和 $(0,+\infty)$ 型积分连起来
• 积分体系图：哪些积分在换元/分部后还能回到同类