Beta 函数：把 型、三角幂型和 型积分连起来

这一页在记什么

Beta 函数最值钱的地方是它能把三类看起来不一样的定积分统一起来：

• 上的幂函数乘积；
• 上的三角幂积分；
• 上的 型反常积分。

定义

三条最核心的性质

1. 对称性

令 ，立刻得到

2. 和 Gamma 的关系

3. 递推

由上式直接得到

若 是正整数，则

三种最常用形态

1. 标准型

看到就该先怀疑 Beta。

2. 型

令

得到，所以可以直接认成 Beta。

3. 三角型

令

可得，因此

和余元公式联动时最强的一条

令 ，则，再配合

可得经典结论

三个最常用的秒杀模板

1. 三角幂总公式

进一步写成 Gamma：

2. 型反常积分

3. 型

令 ，则

条件是，特别地当 时，

识别信号

看到下面这些结构时，优先想 Beta：

• ，尤其是区间是

一句最该记住的话

Beta 函数不是新技巧堆砌，而是在告诉你：很多 型、三角幂型和 型定积分，本质上是同一个对象换了外衣。

链接

• 点火公式：三角幂积分的 Wallis 递推与区间处理
• Gamma 函数：幂函数乘指数衰减的标准定积分
• 积分体系图：哪些积分在换元/分部后还能回到同类
• 第9讲：积分计算的结构识别与技巧清单