考研笔记

积分定义系数与特殊级数求和

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  1. 先换元，把不同积分压到同一积分族，再求比值或递推关系。
  2. 含 的高斯积分优先缩放变量，随后用 Gamma 递推或相邻项比值。
  3. 积分与级数均为非负时，可用单调收敛交换次序；若有统一几何上界，也可用一致收敛。
  4. 得到 后，立即回到指数、对数或几何母式。

必考

880 第8章综合解答 8

原题

设

证明级数 收敛。

解析

令 ，则

利用 ，

由比值判别法，收敛。

常规做法：令 ，求最大值后用比较判别法。

先把被积函数写成 。令 ，观察 ，有

所以 在 上递增、在 上递减，最大值为 。因此对所有实数 ，都有

保留一份被积函数，只把其余 份放大为 ：

其中 ：在 上被积函数连续；在 时，由 ，有 ，尾部积分也收敛。不必求出 的具体值。

而 是公比为 的收敛几何级数，由比较判别法，得 收敛。

关键是“留一份，压其余”。 不能把整个被积函数直接放大为 后在全实轴积分，因为常数在无穷区间上的积分发散。留下 这一份，才能得到有限的积分上界。

880 第8章拓展 1

原题

设

求，

解法一：统一积分族

令 ，则

由 Wallis 递推，得到，因此

解法二：Beta 函数

由 直接得到 ，随后同上。

880 第8章拓展 3

原题

设

且，

（1）求 与 ；

（2）求 。

解析

特征根为二重根 ，代入初值得，故

令 ，利用 ：

1000 基础篇第16章 7

原题

函数 满足，并定义，

（1）求 ；

（2）证明 收敛。

解析

微分方程给出 ，故

在 上有 ，所以可按一致收敛逐项积分：

1000 基础篇第16章 8

原题

设 ，，且

（1）求 ；

（2）判别 的敛散性。

解析

注意完整导数

由 得

在 上各项非负，且 。因此

1000 强化篇第16章 15

原题

表示曲线 与 围成的面积。

（1）求 的收敛域与和函数；

（2）求 。

解析

裂项并用对数母式，得

处取 。两个端点均绝对收敛，故收敛域为 。

另由

取 得

1000 强化篇第16章 16

原题

设

计算，

解析

由前述换元与 Wallis 递推，，故系数为，因此

处取 。端点通项不趋零，收敛域为 。

1000 强化篇第16章 31

原题

设，求 。

解析

令 ，得到 。因此

由及指标平移，括号内级数和为 ，故原式为

拓展

1000 强化篇第16章 17

原题

设 。

（1）求 ；

（2）求 。

解析

分部积分递推给出 。于是

1000 强化篇第16章 18

原题

设，

（1）求 ；

（2）求 。

解析

由参数积分

得到，故

1000 强化篇第16章 19

原题

函数 满足

（1）求 ；

（2）设 ，求 。

解析，由

得 。所以

模板总结

  • 两个积分数列同时出现时，优先寻找同一积分族中的递推关系。
  • 高斯积分含 时先作尺度换元；含 时再用 Gamma 递推比较相邻项。
  • 交换积分与级数前核验非负性或一致收敛。
  • 积分化成 后，后半段按母式求和。

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