级数与积分、导数的换序条件

幂级数内部

幂级数在任意闭区间上一致收敛，可以逐项积分；导数级数也在同一开区间内收敛，并可逐项求导：

端点仍需单独判断。例题：指数级数逐项积分。

若在上一致收敛，且每个可积，则

常用充分条件是 Weierstrass 判别：若且收敛，则一致收敛。例题：统一几何上界后交换积分与级数。

若，则可用 Tonelli 或单调收敛定理交换求和与积分，即使尚未预先知道总和有限：允许两边同时取。换序后若得到有限积分，便证明原级数收敛。例题：非负积分系数的几何求和。

若几乎处处，且存在可积函数使，则，考研证明中常用连续函数、一致上界和有限区间给出控制函数。没有统一控制时，点态极限不能直接移入积分号。

对一般函数项级数，常用充分条件为：

则一致收敛且，幂级数内部自动满足相应局部条件。例题：逐项求导证明二重对数恒等式。