幂级数母式、逐项运算与和函数

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速记

分子含 时优先求导或用 ；分母含 时优先积分、移项或裂项。

必考

880 第8章基础解答 5-II

原题

求幂级数的收敛域与和函数。

解析

先作系数除法：，故对 ，， 处按连续延拓取 。两端通项均不趋零，收敛域为

880 第8章基础解答 5-IV

原题

求的和函数。

解析

令，则

因此

处取极限 ；收敛域为 。

880 第8章综合解答 13

原题

求的收敛域与和函数。

解析

时是公比 的几何级数：， 时通项不趋零； 时每一项均为零，级数和为零。故

边界说明

和函数在 处不连续：右极限为 ，而逐项代入所得级数和为 。逐点收敛不保证和函数连续。

880 第8章综合解答 17

原题

设，证明，

解析

在 内逐项求导：，令左端为 ，则

故 为常数。令 ，有 、、，结论成立。

1000 基础篇第16章 14

原题

求

的收敛域与和函数。

解析

拆成

第一项为 ；第二项令 ，由

得到

其中 。第一项决定半径，两个端点均收敛，故收敛域为 。

1000 强化篇第16章 26

原题

曲线 与其在 处的切线及 轴围成的面积为 ，。

（1）求 ；

（2）求 的收敛域与和函数。

解析

切线为 ，故

再用求和，得

处取 。 时与调和级数同阶而发散， 条件收敛，故收敛域为 。

1000 强化篇第16章 36

原题

求，

解析

偶数 时底数为 ，奇数 时底数为 ：

利用

得到

拓展

880 第8章基础填空 1

原题

设 ，将展开为 的幂级数。

解析

880 第8章基础解答 5-I

原题

求 的收敛域与和函数。

解析

，收敛域为 。

880 第8章基础解答 5-III

原题

求 的和函数。

解析

由 ，

裂项求和与阶乘母式

来源

• 880 第8章基础解答 9
• 1000 基础篇第16章 13（对应第（I）问）

原题

计算：

（I）；

（II）。

解析

（I）令，先裂项：于是

故

取 ，得

（II），故

880 第8章综合选择 9

原题

求，

A.

B.

C.

D.

解析

，故

选 。

880 第8章综合填空 4

原题

求

解析

令 ，由 ，得

1000 基础篇第16章 11

原题

求

的和函数。

解析

令 ，直接套 ：

1000 基础篇第16章 12

原题

计算 。

解析

由

取 得 。

1000 强化篇第16章 25

原题

求 。

解析

令 ，由得 。

1000 强化篇第16章 30

原题

求 。

解析，取 得 。

1000 强化篇第16章 32

原题

求 。

解析

1000 强化篇第16章 33

原题

求 。

解析，故裂项和为 。

1000 强化篇第16章 34

原题

求 （）的和函数。

解析

1000 强化篇第16章 35

原题

求 。

解析

由及 、，得

补充题

奇数分母与对数比值

原题

求的和函数。

解析

由

得

。

多项式系数的 算子

原题

求 的和函数。

解析

令 ，则，故

多项式系数数项级数

原题

求 。

解析

令 ，拆成 ，得

相关概念

• 幂级数母式库与求和工具
• 反三角函数主值与恒等式