生成函数与递推翻译

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基本翻译

设，则

递推式乘以与下标匹配的 后求和，通常会变成代数方程或微分方程。低阶项需按求和下限从 中减去。例题：一阶递推转和函数微分方程。

前缀和算子

若，则

证明可用离散区域换序、错位相减或 Cauchy 乘积。例题：调和前缀和生成函数三解法。

换序对应区域 ：固定 查看前缀，改为固定 后，外层下标从 延伸到无穷。这是积分换序的离散形式。

多项式系数算子

记 、，则

所以，当系数为 等多项式时，先展开成 ，再套 。例题：微分方程生成多项式系数。

差分优先的情形

若递推可化为

先求差分常能直接得到 的极限和收敛半径，再用生成函数求和。例题：递推差分与生成函数双路线。

指数生成函数

若，则求导只移动系数下标：，常系数微分方程可直接决定 ，再与 的展开比较得到 。例题：微分方程确定指数生成函数系数。

收敛范围

从递推推导微分方程前，先在幂级数的收敛圆内操作。和函数求出后，半径与端点仍需回到系数或原级数判断。例题：递推比值先定半径，再解和函数。

题型训练

• 递推系数、生成函数与微分方程
• 幂级数母式、逐项运算与和函数