递推系数、生成函数与微分方程

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生成函数翻译表

设，则

前缀和对应

处理递推式时先固定起始下标，再逐列写成；低阶初值必须单独减去。

必考

880 第8章基础解答 10

原题

（1）证明满足微分方程；

（2）利用（1）求该级数的和函数。

解析

逐项求导后，分别取出指数模余的项，故，由级数直接读出，方程的一个特解为，齐次特征根为。代入初值得

解法二：单位根筛选

令。因为在时等于，其余情形等于，所以，化为实式即得同一答案。

880 第8章综合解答 4

原题

设，证明：

（1）；

（2）收敛，并求其和。

解析

由比较系数，得到题设递推。又

故部分和跨两项消去：

为递增正数且趋于无穷，，因此级数和为

880 第8章综合解答 7

原题

设幂级数在上满足，且

求。

解析

令，题设即，解得。该幂级数在全实轴收敛，故可取：

880 第8章综合解答 14

原题

曲线在点处的切线与轴交于。求的收敛域与和函数。

解析

切线斜率为，故

于是对，

时与调和级数同阶而发散，时交错收敛，故收敛域为。

880 第8章综合解答 15

原题

设，且，证明当时收敛，并求其和函数。

解析

由递推式

故收敛半径为。令。递推式乘后从求和：，约去后得到

乘积分因子，解得

边界说明

不参与的递推，却决定和函数微分方程的初值；求和时不能删去。

880 第8章综合解答 16

原题

曲线在上的全长为。

（1）求；

（2）求的收敛域及和函数。

解析

由变上限积分求导，，故，令。在上，，所以。于是

裂项并套：

处按连续延拓取。两个端点均绝对收敛，收敛域为。

880 第8章综合解答 18

原题

设满足，求及。

解析

特征方程，代入初值得

比较指数生成函数的系数：

880 第8章拓展 2

原题

设

且。

（1）求，并求幂级数的收敛半径；

（2）求满足的一阶微分方程及和函数。

解析

令。递推式等价于，而，故。于是，因为，幂级数半径为。

再将原递推式乘求和：，即，结合得

1000 基础篇第16章 15

原题

（1）求微分方程的通解，其中为正整数；

（2）记为满足的特解，求的和函数。

解析

乘以积分因子：，故通解为，由得，所以

对应交错调和级数，对应负调和级数。

1000 强化篇第16章 9

原题

对每个正整数，是微分方程满足的解。

（1）求；

（2）求的收敛域及和函数。

解析

方程给出，故，用生成，得

在时通项均不趋零，故收敛域为。

1000 强化篇第16章 20

原题

设，且，证明当时收敛，并求其和函数。

解析

比值趋于，故时收敛。令，递推式乘求和得，即

解得

由二项式展开还可直接读出

该通项适合核对递推与系数；求和函数时，递推转微分方程的路线更短。

1000 强化篇第16章 21

原题

数列满足，求时。

解析

两边乘，令，则

由得，即。因此

1000 强化篇第16章 27

原题

已知

求的定义域，证明，且。

解析

级数部分在全实轴收敛，要求，故定义域为。

令。算子作用于时产生，故

又，所以。最后，级数部分为，故

拓展

1000 强化篇第16章 22

原题

当时，求，

解析

前缀和的生成函数等于原生成函数乘：

选。

旧题并入：调和前缀和生成函数

原题

求的收敛域与和函数。

解法一：离散区域换序

记。对，

二重下标位于离散三角区域。固定时先加前缀，换序后固定，外层范围变为，随即出现几何级数：

解法二：错位相减

若，则

解法三：Cauchy 乘积

正是与的乘积中的系数。

三种方法都得到

两个端点的通项均不趋零。

模板总结

对应，对应。
写求和式时逐项核对下限，初值决定常数项和微分方程初值。
递推能直接化成差分时，可先求或，再判断半径。
前缀和算子在生成函数中对应乘。

考研笔记