幂级数半径、端点与变量变换

收敛半径

对，Cauchy—Hadamard 公式给出

若存在，则。求出后只得到开区间；两个端点必须代回原级数分别判断。例题：稀疏幂次与非标准系数的收敛域。

固定实数时，系数乘除不改变半径：，逐项求导与积分也保持半径，但端点可能改变。已知原级数端点性质时，变换后的端点要重新判断。例题：两个同半径幂级数线性组合的半径陷阱。

反向使用信息时也只继承半径：由的收敛半径可以确定的收敛半径；前者在端点发散，仍无法确定后者的端点。多项式因子可能恰好破坏原先的端点收敛。例题：含 $n$ 系数的端点信息能否迁移。

若用逐项积分解释半径不变，应先写

再对第二个级数积分得到。直接积分左端会产生与，不能直接得到目标级数。

若幂级数在条件收敛，则，原因是内点绝对收敛，外点发散，条件收敛只能发生在边界。于是离中心更近的点自动绝对收敛。例题：条件收敛点锁定半径。

若先有的半径，再令，则按求内部区域，并对满足的每个边界点代回原级数。平方代换会把同一个端点性质复制到正负两个边界。例题：平方代换与端点复制。

幂次为时，先把真正的幂变量提出来。对于，令；对于，直接按、、分区判断更短。

若系数在奇偶子列上有不同指数增长率，半径由较大的决定。例题：奇偶子列决定半径与端点。

和函数公式通常先在内通过逐项运算得到。端点能否代入取决于原级数，不能只看闭式是否有有限极限。逐点收敛也不保证边界处连续。例题：逐项取值与边界不连续。