幂级数半径、区间、端点与变量变换

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固定流程

1. 先把级数写成 ，求 的收敛半径。
2. 代回 ，解 。
3. 每个边界值代回原数项级数单独判断。
4. 系数乘除 不改变半径，可能改变端点。
5. 已知某点条件收敛时，该点到展开中心的距离就是半径。

必考

880 第8章基础选择 8

原题

幂级数 在 处条件收敛，则 （ ）。

A. 发散　B. 条件收敛　C. 绝对收敛　D. 无法确定

解析

对应 ，条件收敛说明半径恰为 。 对应 ，严格位于收敛圆内部，故绝对收敛。选 。

880 第8章基础选择 9

原题

在 处条件收敛，则在 处（ ）。

A. 绝对收敛　B. 条件收敛　C. 发散　D. 敛散性不确定

解析

令 ，已知 条件收敛。目标端点级数为，仅由 条件收敛无法判定：取 时目标绝对收敛；取 时目标化为发散的正项对数调和型级数。故选 。

880 第8章基础填空 2

原题

设 的收敛域为 ，求 的收敛域。

解析

令 ，原级数关于 的收敛域为 ，且正端点 收敛。新级数令 ，故，两个边界都对应原级数的正端点，均收敛。因此收敛域为

880 第8章基础解答 4

原题

求下列级数的收敛域：

（I）；

（II）；

（III）；

（IV）。

解析

（I） 时与几何级数比较； 时绝对值为 ； 时通项不趋零。故

（II）令 ，系数以 为主，故 ；边界通项不趋零：

（III）系数的 次方根趋于 ，故半径为 。在 时通项绝对值，故

（IV）半径为 。 时含发散项 ； 时交错收敛，故

880 第8章综合选择 11

原题

幂级数的收敛域为 ，则（ ）。

A. 　B. 　C. 　D.

解析

半径始终为 。右端点收敛要求，即 ；此时左端点也绝对收敛。选 。

880 第8章综合解答 2

原题

求的收敛区间，并讨论端点敛散性。

解析

先求半径，再把两个端点分别代回去。

第一步：用比值判别法求收敛半径。

先把分母中的 提出来：，因为 ，方括号趋于 ，而且始终为正。记原级数通项为 ，当 时，

所以 时绝对收敛（ 时每项都是 ）， 时发散，收敛半径为 。但在 时比值极限等于 ，比值判别法失效，必须另算。

第二步：右端点 ，与调和级数比较。

代入后得到正项级数，将它的通项与 作比：

极限为正的有限数，两个正项级数同敛散。因为调和级数 发散，所以 时发散，右端点不取。

第三步：左端点 ，先减去交错调和级数的通项。

此时通项为 。它很像 ，但不能只凭“很像”就断言同敛散。把两者相减，看差出来的部分：

也就是说，有一个精确的拆分等式：

右边第一部分 是交错调和级数： 单调递减且趋于 ，由莱布尼茨判别法收敛。

第二部分也收敛。因为对 ，

所以

而 是公比为 的收敛几何级数，由比较判别法，第二部分收敛。两个收敛级数相减仍然收敛，因此 时原级数收敛。

再判断是不是绝对收敛。 取绝对值后，恰好变成第二步在 时的正项级数，已经证明它发散。所以 时是条件收敛，左端点要取。

综上，

下次遇到：先用比值求半径，端点逐个代入。 正项端点可以与 作极限比较；带正负号的端点，若像交错调和级数，就先减掉它，再用几何级数控制差值。不要直接把正项级数的等价比较搬到变号级数上。

1000 基础篇第16章 10

原题

求级数的收敛域。

解析

相邻项比值极限为，故 时收敛， 时发散。 时由 Stirling 公式，通项不趋零。因此收敛域为 。

常规做法：比值判别法 + 通项不趋零（不用 Stirling 公式）

第一步：把相邻项的比值算完整。 对固定的 ，记 ，则

这里用的就是熟悉的重要极限 。由正项级数的比值判别法：

• 时，比值极限小于 ，级数收敛；
• 时，比值极限大于 ，级数发散；
• 时，比值极限等于 ，判别法失效，不能据此下结论。

第二步：端点 ，证明通项根本不趋于 。

此时记 ，仍然看相邻项的比值，但这次看它的实际大小：，由基本不等式 （），取 ，两边取 次方，得到

所以 严格递增，且 ，从而 ，不可能趋于 。不满足级数收敛的必要条件，因此 时发散。

若忘了 ，也只需一步求导：令 ，则 ，而 时 ，故 。

综上，收敛域为

端点不一定要算出通项的极限。 本题只要证明通项始终不小于 ，就足够判发散。注意区分：比值极限等于 无法判敛散，但实际比值大于 能说明正通项递增，进而说明通项不趋零。

1000 强化篇第16章 12

原题

若 条件收敛，则幂级数在 处（ ）。

A. 绝对收敛　B. 条件收敛　C. 发散　D. 无法确定

解析

的半径恰为 ；乘 不改变半径。此处，位于收敛圆内部，故绝对收敛。选 。

1000 强化篇第16章 13

原题

若 条件收敛，则的收敛区间为（ ）。

A. 　B. 　C. 　D.

解析

的半径为 ，乘 后半径不变。中心为 ，故开区间为

选 。

令 。题设只说明 条件收敛；在 处需要判断 ，在 处需要判断 ，两者均不能由条件收敛直接确定。例如时 条件收敛，而 仍收敛；取 时， 连通项趋零都不满足。

若取，则 条件收敛，且 收敛；由于非零项只出现在奇数下标， 也收敛。这说明两个端点都可能保留。故选项只能确定开区间，完整收敛域还要另查两个端点。

1000 强化篇第16章 14

原题

与 的收敛半径均为 。下列级数的收敛半径仍必为 的是（ ）。

A.

B.

C.

D.

解析

对应的半径为 ，其指数增长严格慢于 ，无法抵消决定半径 的主系数。因此 C 的半径仍为 。

A、B、D 均可令两部分逐项抵消；其中乘除 不改变原半径。选 。

拓展

880 第8章基础解答 3

原题

求下列级数的收敛域：

（I）；

（II）；

（III）；

（IV）。

解析

逐一求半径并代端点：

880 第8章综合填空 1

原题

若 的收敛半径为 ，则的收敛区间为多少？

解析

乘 、多乘一个 均不改变半径，故能确定的内部区间为

原题未给端点信息，端点敛散性无法确定。

880 第8章综合填空 2

原题

若 的收敛半径为 ，则的收敛域为多少？

解析

，而 ，故新系数的 次方根趋零，收敛半径为无穷。收敛域为 。

1000 基础篇第16章 9

原题

的收敛区间为 ，求的收敛区间。

解析

原级数以 为中心，半径为 ；系数乘 不改变半径，故 的半径也是 。令，内部收敛条件为 ，所以

这里能确定的是开区间。已知 发散，不能推出 发散；新级数的两个边界都对应 ，是否收敛仍需额外信息。

例如令 ：

• 若 ，则 与 都发散，而 收敛；新级数包含两个边界。
• 若 ，则前述两个含 的端点级数都发散，且 也发散；新级数不包含边界。

因此若题目把“收敛区间”专指由半径确定的开区间，答案如上；若要求完整收敛域，现有条件不足以确定端点。

1000 强化篇第16章 29

原题

求幂级数的收敛域。

解析

内部为 。 与 均化为交错奇数分母级数，故

补充题

奇偶系数控制端点

原题

求的收敛域。

解析

偶数项底数为 ，奇数项底数为 ，故

在 处，偶数项均形成正调和子级数 ，故两端都发散。收敛域为

相关概念

• 幂级数母式库与求和工具
• 幂级数半径、端点与变量变换
• 正项级数临界阶