正项级数稳定结论与对数幂临界

核心问题

正项级数收敛后的稳定加工，以及的临界判别。

若且固定有限，则

证明核心是夹逼：

注意：必须固定有限。若项数也随变化，就要额外看。

若且收敛，则，从某一项起。因此对任意，，所以

收 敛

另外，抽取子列项仍收敛，例如，因为它们的部分和不超过原正项级数的部分和。

积分与级数同敛散，结论为

收 敛 收 敛 发 散 其 他

记忆方式：

先 看 幂 ； 只 有 时 ， 对 数 幂 才 决 定 生 死 。

当，，令，则，积分变成，所以当且仅当收敛。

对数比任何正幂都慢：，所以时可以把对数幂吸收到一个很小的里，仍与收敛的型积分比较；时也压不住发散。

正项收敛意味着“总量有限”。尾部再取幂会更小，抽子列只是拿走其中一部分，因此不会变得更难收敛。

对数幂级数里，变化太慢，只有在这个临界线上才有决定权。

这页和增长速度层级：对数、幂、指数、阶乘与 $x^x$相连：对数慢于任意正幂，是时比较判别的底层原因。