考研笔记

极限速度层级：对数、幂函数、指数、阶乘与

这一页在记什么

第 8 讲里很多反常积分、极限比较、判敛题，背后其实都在吃同一个底层关系：对数幂函数指数函数，再往上补数列对象，会出现，而特殊对象 需要单独记。

当 时

最常用的层级是，其中 。

若继续往上接，还可以写成

为什么成立

1. 对数比幂函数慢

因为

2. 幂函数比指数函数慢

因为

3. 固定底数指数比 慢

当 时

数列层面的高频顺序是

两个最值钱的结论

1.

看乘积，当 时，，所以后半段乘积会至少像 那样涨起来，于是

2.

因为，其中前一半因子都不超过 ，所以

更精确的量级

Stirling 公式给出，所以阶乘的主量级大约是，这也解释了为什么它比 强，但又比 弱。

当 时

讨论的是“趋于 0 的快慢”。最常用的顺序是，其中 。

1. 指数型无穷小比任意幂次都小

令，则

2. 幂函数比对数倒数趋零快

令，则

要单独记

当

所以它比任意固定底数指数 都大。

当

因为，所以，更细一点，

和反常积分的关系

这页不是孤立极限表，它直接服务于第 8 讲的反常积分判断：

  • 为什么 常常改不掉幂函数的判敛阈值；
  • 为什么用 的指数代换后，收敛性会一下变清楚；
  • 为什么“对数很弱”是个可操作的判断，而不是口号。

一句最该记住的话

比较增长或衰减速度时，先问自己：能不能取对数，能不能改写成“幂 vs 指数”。

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