正项级数比较、参数与临界阶

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方法模板

先检查通项是否趋于零。
把根式、对数、积分、阶乘化成、或几何阶。
参数题先分别求每个条件，再取交集；等号处单独判断。
比值、根值极限等于时改用展开、比较、积分判别或 Stirling 公式。

必考

880 第8章基础解答 1-VI

原题

设，判别级数的敛散性。

解析

展开到二阶：

若，通项与同阶，级数发散。若，一阶项抵消，通项为，故收敛。结论为

时 收 敛 ； 其 余 情 形 发 散

880 第8章综合选择 3

原题

设，收敛，且发散，则（）。

解析

第一列级数的比值极限为

它收敛要求；时由 Stirling 公式知通项不趋零。

又

第二列级数发散等价于。结合，得，选。

880 第8章综合选择 5

原题

设是单调减少的正值数列，则下列级数中一定收敛的是（）。

解析

由，

右侧级数裂项收敛，故 D 收敛。A 还需；B、C 均无普遍结论。选。

880 第8章综合选择 8

原题

正项数列满足，下列选项中错误的是（）。

A. 若收敛，则收敛

B. 若发散，则发散

C. 若收敛，则收敛

D. 若发散，则发散

解析

由，，当时，，故。于是收敛可推出、收敛，D 是 C 的逆否命题。取时发散而收敛，故错误的是。

880 第8章综合解答 1

原题

函数满足，讨论级数的敛散性。

解析

解方程得，故通项为

原级数与同敛，故 $收敛$ 。

1000 基础篇第16章 1

原题

设为常数，若级数

均收敛，则（）。

解析

有理化得

故第一列收敛要求。第二列部分和为，收敛要求。取交集得，选。

1000 强化篇第16章 1

原题

设级数

① ②

则（）。

A. ①收敛，②发散

B. ①发散，②收敛

C. ①②均收敛

D. ①②均发散

解析

①的通项满足，故发散。②的通项为，连必要条件都不满足。选。

1000 强化篇第16章 7

原题

数列满足

且收敛。证明：

（1）；

（2）收敛。

解析

（1）拉格朗日中值定理：把差商变成导数。

原式除以，左边正好是函数在上的差商，因为。由拉格朗日中值定理，存在，使

与题设对照，得。而在时满足，严格递增，同一个函数值只能对应同一个自变量。所以，从而

（2）比较判别法：看与的比值。

收敛推出，关系式继而推出。展开得

故。于是最终成立，比较得收敛，从而收敛。

1000 强化篇第16章 11

原题

函数满足，设，若收敛，求的范围。

解析

两方程相减得，结合初值得，令，则，当且仅当收敛，故

1000 强化篇第16章 24

原题

正数列满足，且收敛。证明：

（1）；

（2）收敛。

解析

，积分中值定理给出

左端趋零，而在上严格递增且仅在时趋零，故。再由得到

与比较即得结论。

拓展

880 第8章基础选择 5

原题

设正项级数收敛，则正确的是（）。

A. 收敛

B. 收敛

C. 的极限小于

D. 的极限小于

解析

，故最终，于是。选；其余结论均不能由正项级数收敛推出。

880 第8章基础解答 1-II

原题

判别的敛散性，其中。

解析

时 收 敛 时 收 敛 时 发 散

用比值判别；化为级数；时通项不趋零。

880 第8章基础解答 1-III

原题

判别的敛散性。

解析

由 L’Hopital 法则，，通项与等价，故收敛。

880 第8章基础解答 1-IV

原题

判别的敛散性，其中。

解析

部分和为，故对任意均收敛，且和为。

880 第8章基础解答 1-V

原题

判别的敛散性。

解析

故级数收敛。

880 第8章综合选择 10

原题

若与均收敛，则（）。

解析

第一项要求，第二项要求，即。交集为，选。

1000 基础篇第16章 2

原题

判断的敛散性。

解析

由

通项与等价，故收敛。

考研笔记