级数通项主阶：归结原则、Taylor 展开与比较判别

主阶归结

很多级数通项长得像。处理这类题，先研究的主阶。

若

则，于是原级数和比较：

收 敛 发 散

归结原则就是函数极限和数列极限之间的桥，也叫海涅定理。

若，则对任意满足

的数列，都有，本章最常用的是单侧形式：

所以如果，就能直接得到，一句话：

函 数 在 附 近 的 等 价 主 阶 ， 可 以 代 入 变 成 数 列 等 价 。

主阶来自 Taylor 展开中的第一个非零项。

如果

则，所以无穷小比阶问题本质上是：

找 到 展 开 中 第 一 个 不 为 零 的 项 。

乘除结构里，等价无穷小通常很好用；但加减结构里如果发生主项抵消，就必须展开到第一个非零项。

例如不能推出，正确展开是：

规则：

乘 除 可 大 胆 用 等 价 ； 加 减 有 抵 消 时 必 须 展 开 到 第 一 个 非 零 项 。 （ 主 项 ）

外层函数要展开到几阶，取决于内层小量的阶数和题目需要的精度。

如果，且只需要主项，那么，只保留一阶就够。

如果要继续抓主项，就必须保留，记忆：

外 层 函 数 先 线 性 化 ， 内 层 函 数 展 开 到 能 看 出 偏 离 常 数 的 首 个 非 零 项 。

设

由于

令，则

所以

于是与同敛散，因此收敛。