根式数列、乘积恒等式与最大项原则

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三类题统一看“最大主项”：

• ：最大项控制。
• ：取对数后除以 。
• 无穷乘积：优先找可望远镜的恒等式。

代表题详解

来源：880 综合解答 11。

原题：求

解析

先指数化：

其中

由指数函数中值定理，

所以原式等于

分子整理：

于是，且，答案：

模板

根式相减：

关键是把指数差 算干净。

必考同类题

880 综合解答 15 的 I

原题：当 时，求

当 ，

因此

880 综合解答 15 的 II

原题：当 时，求

利用

所以

880 综合解答 15 的 III

原题：求

设 。对 ，，故

拓展同类题

1000 基础篇第 2 章 5

原题：当 时，求，

对非负数 ，有，开 次方并令 ，得到

1000 基础篇第 2 章 6

原题：求，

1000 基础篇第 2 章 10

原题：设 ，且，求 。

由 ，得，又 ，所以，故

880 基础解答 6 的 I

原题：求极限

880 基础解答 6 的 IV

原题：求极限

调和和 ，所以

补充题：相邻根式差

求，

令 ，则

由指数函数中值定理，存在介于 与 之间的 ，使

因 ，所以

展开法需要把两项统一保留到 阶；中值定理直接保留了相邻指数的差。

易错点

• 先取对数：。
• 有限个正数的 次幂和，由最大项控制。
• 乘积题先找恒等式，少做逐项对数。
• 根式数列相减要指数化，直接等价很容易丢阶。

链接

• 第一部分题库：极限、连续与数列
• 指数化与幂指极限
• 级数通项主阶：归结原则、Taylor 展开与比较判别