极限、连续与数列递推

入口

• 全部来源核对：第一部分题库：极限、连续与数列
• 题型解析：本页下方 9 个题型页。
• 概念条件：本页下方 9 个本章概念页及必要的跨章概念。

核心问题

极限、连续和数列递推共同围绕：

参与主项相消的部分不能提前代入；不参与相消的稳定因子可以先取极限。整体极限由最低阶有效变化决定。

函数极限、连续补定义、导数定义、洛必达、数列递推都在处理：对象靠近某个点时，最低阶有效变化是什么？

概念主线

局部主项

• 极限里的局部主项与代入边界
• 极限工具链：Taylor、拉格朗日与洛必达
• 导数定义、柯西中值定理与洛必达的同一条线
• 级数通项主阶：归结原则、Taylor 展开与比较判别

积分极限

• 短区间积分极限：被积函数主部叠加上限阶数
• 含参数变上限积分：先处理端点项再求主部

连续与定义

• 极限定义证明细节：点值、左右与平均斜率

数列结构

• 中间变量极限定理：严格单调与反函数边界
• 数列无穷大量与无界量：乘积趋于无穷的反例模板
• 不动点迭代数列：单调有界与压缩放缩
• 分式线性递推：不动点、交比变量与矩阵升维

题型训练

函数与函数极限

• 函数性质、复合单调与奇偶有界
• 局部主项与相消阶数
• 指数化与幂指极限
• 短区间积分与含参积分极限
• 左右极限、连续与间断点

数列极限

• 数列命题真假与反例
• 隐式定义数列与根的渐近
• 递推数列、不动点与收敛速度
• 根式数列、乘积恒等式与最大项原则

复习顺序

1. 局部主项与代入边界 → 局部主项题型 → 幂指题型
2. 短区间积分主项 → 含参数变上限积分 → 积分极限题型
3. 极限定义边界 → 连续与间断点题型
4. 反函数锁定边界 → 无穷大量与无界量 → 数列命题题型
5. 不动点迭代 → 分式线性递推 → 递推题型
6. 隐式根序列 → 根式、乘积与最大项