含参数变上限积分：先处理端点项再求主部

它解决什么问题

普通变上限积分是

但很多极限题里的分子其实是，被积函数里也含参数。这时不能只写，因为本身也在随变。

若，在相应条件下有莱布尼茨公式：

最常见特例是：，则

这个公式要按顺序读：

设，令，第一次求导：，由于，所以上限项消失，只剩，第二次求导时仍要先看上限项。新的被积函数含有因子，所以在处也为。因此

这一步非常重要：两次上限项都要检查，结果确实等于。

求到

后，就回到短区间积分主项：

于是，这和两次洛必达配合时很干净，因为分母满足，所以原极限为。

含参数变上限积分题先不要急着展开。先问：

若题目只给被积函数连续，不能直接对被积函数内部的参数求导。此时优先换元，把它改写成普通变上限积分函数，例如，再用。