考研笔记

短区间积分与含参积分极限

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短区间积分看三件事：

被积函数主部区间长度上限阶数

常用动作：

  • 上限是 ，被积函数在 附近一致可展开，直接抓主部。
  • 上限是 ，先判断上限阶数。
  • 被积函数含 、，可换元 固定区间。
  • 嵌套积分先设整体为 ，连续求导到首个非零阶。

代表题详解

来源：1000 强化篇第 1 章 4。

原题：求

解析

令 ，则 ，该换元对 与 都成立。分子记为 ：

在固定区间 上一致有

因此

分母：，故

补充解法：积分求导

设，由含参数变上限积分公式，上限项在 处为 ，所以，再次求导，上限项仍为 ：，短区间上 。若 ，则 。连续使用两次洛必达后得到同一极限 。

模板

若被积函数中同时出现 和 ：

固定到 后，所有小量都由 控制，主项更稳。

必考同类题

880 综合填空 3

原题：设，求。

，令 ，，则，由于 ，

880 综合解答 8

原题：求极限

，所以

分子，分母，答案：

880 综合解答 9

原题：求极限

当 ，

因此

分子整体为 乘上该积分，所以，分母，故极限

1000 基础篇第 2 章 3

原题：设 非负有界，，求，若 非负有界，

答案：

1000 强化篇第 1 章 2

原题：求极限。

令 。取对数：，故 。补定义 后， 在 处连续。由积分平均值定理，存在介于 与 之间的 ，使，因 ，所以

1000 强化篇第 1 章 6

原题：设函数 在点 的某邻域内可微，且

求

设，连续求导：

由 ，得，而，洛必达三次：

1000 强化篇第 1 章 7

原题：设 在点 的某邻域内连续，且当 时， 与 为等价无穷小，则当 时，是的（ ）。

A. 等价无穷小 B. 同阶但非等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小

因 且 在去心邻域内连续非零， 在每个单侧邻域内符号固定。又

由积分等价定理，两积分的比值趋于 ，故为

同阶但非等价

1000 强化篇第 1 章 9

原题：设当 时，与 是等价无穷小量，则 。

A. B. C. D.

由 ，所以

积分后，答案：

1000 强化篇第 2 章 4

原题：设

求

A. B. C. D.

设

令 ，

又，故，于是

补充题：1000 强化篇第 2 章 9

原题：已知，计算，标准积分：，所以

1000 强化篇第 2 章 10

原题：设数列 的通项，计算

，由 Wallis 型递推，又，故

拓展同类题

1000 强化篇第 1 章 19

原题：当 时，以下无穷小量阶数最高的是（ ）。

A.

B.

C.

D.

逐项取被积函数主部：

  • A：，积分为 阶。
  • B：，积分为 阶。
  • C：，积分为 阶。
  • D：，上限 ，积分为 阶。

因此阶数最高的是

1000 强化篇第 1 章 20

原题：设函数 在点 的某一邻域内可导，且 ，求

若 ，则 。

极限

1000 强化篇第 1 章 26

原题：当 时，以下无穷小中阶数最高的是（ ）。

A. B. C. D.

逐项看阶数：

  • A：被积函数趋于 ，上限 ，一阶。
  • B：被积函数趋于 ，上限 ，二阶。
  • C：被积函数在 处趋于 ，一阶。
  • D：，，积分为六阶。

阶数最高选

易错点

  • 积分上限的阶数会进入答案。
  • 被积函数趋于非零常数时，积分阶数等于上限阶数。
  • 被积函数本身也有零点时，阶数要叠加。
  • 含 的短区间题，优先换元 或直接检查一致等价。

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