短区间积分极限：被积函数主部叠加上限阶数

它解决什么问题

很多带积分的极限，先问：

短区间积分本质上是一个复合极限：被积函数的局部主项、积分上限的阶数、区间长度会一起决定结果。

最基本模板

若 ，且，则在常见考研题中可以先判断：

因此要同时看 的主部和 的阶数：

例如 ，若上限是 ，整体是 阶；若上限是 ，整体就是 阶。

被积函数里也含 怎么办

若被积函数同时含 和 ，比如，最稳的动作是把短区间拉回固定区间：，于是

在固定区间 上，

所以分子主部为

这种做法的好处是：变量范围固定，主项替换更容易统一控制。

等价无穷小为什么能进积分

一般不能机械地把“点态等价”塞进积分号。这里能做，是因为积分区间整体缩到 ，或者换元后区间固定为 ，近似在整个区间里同时成立。

更严格地说，换元后要看形如

在 上是否稳定。考研书写里通常不展开一致收敛证明，但心里要知道：短区间换元就是为了让这个替换有根据。

与积分第一中值定理的关系

如果被积函数只是 ，且 在 处可补连续，那么，这可以看成积分第一中值定理，也可以看成短区间平均值趋向端点值。比如

所以

下次遇到怎么办

1. 先看积分区间是否缩到一点。
2. 若被积函数只含积分变量，找 的主部，再叠加上限阶数。
3. 若被积函数同时含 ，优先令 或 ，把区间固定或看清 的量级。
4. 若是 ，先判断 能否补连续。

题型训练

• 含 $t-x$ 的短区间积分：固定区间法
• 积分平均值与端点补连续
• 被积函数阶数与上限阶数叠加
• 等价无穷小进入积分的条件

链接

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一元积分题型训练

• 短区间积分极限与固定区间缩放