短区间积分极限与固定区间缩放

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方法选择

区间端点含时，优先令，把积分区间固定到或固定常数区间。
缩放后分别提取区间长度、被积函数局部主项和核函数矩；所需展开阶数由分母阶数决定。
参数曲线先确认局部单调，再把转成。
平移差商积分可先移动积分区间，只保留两个端点附近的短积分。

必考

880 第3章基础选择 9

原题

设 , 且 , 则().

解析

极限有限要求分子常数项为零。由于被积函数非负，只能有。若，分母为一阶而分子为三阶，极限为，与矛盾。因此，并且

故，选。

880 第3章基础选择 10

原题

设函数由确定, 则当时, 是的( ).

A. 高阶无穷小

B. 等价无穷小

C. 同阶但不等价无穷小

D. 低阶无穷小

解析

，所以等价于。局部主项为

因此，与同阶但不等价，选。

880 第3章基础填空 3

原题

设 , 在某邻域内可导, 且 , , 则 ____;

解析

令。由，

880 第3章基础填空 5

原题

极限 ____.

解析

当时，，故分子等价于，分母等价于，极限为。

880 第3章综合填空 2

原题

设在上连续，若，则极限

解析

移动积分区间：

由连续性，两项分别趋于与，故极限为。

880 第3章综合解答 7

原题

求极限

解析

展开根式：，因此分子为

分母，故极限为。

880 第3章综合解答 9

原题

计算

解析

令，则

令，得到

880 第3章综合解答 26

原题

设在内连续，且 . 证明：

(Ⅰ) 对 , 存在 , 使得 ;

(Ⅱ)

解析

（I）先把第二个积分换向：

对连续函数使用积分中值定理，存在，使上式等于。

（Ⅱ）由，

从题设等式中解出

故。

880 第3章综合解答 30

原题

设在内有连续导数, 证明:

解析

平移区间后，分子为，令：

连续，积分中的商一致趋于，故极限为

1000 基础篇第9章 12

原题

若函数在上连续，，则当时，是的（）.

(A)高阶无穷小

(B)低阶无穷小

(C)等价无穷小

(D) 同阶但非等价无穷小

解析

令：，所以，是的高阶无穷小，选。

1000 基础篇第9章 13

原题

设在的某邻域内连续，在处可导，且，则在处（）.

(A)不连续

(B)连续但不可导

(D) 可导且在处连续

解析

设，则，其中。因此，故。当时，，代入同一局部表示可得，所以在处连续，选。

对话补充题

平移核的双变量主项

原题

求

解析

令。在上一致地有

分子主项为，分母等价于，故极限为。

补充题

端点集中权重

原题

求，

解析

记为题设积分。利用分部积分：

即

故。权函数的总积分为，并集中到附近，因此它在极限中抽取连续函数的端点值。

考研笔记