考研笔记

指数化与幂指极限

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看到 、、、根式或复杂幂差，统一先写成，两条主线：

  • 求单个幂指极限：先算 。
  • 求两个幂指表达式之差：先抽同一个中间变量，再看函数差消到几阶。

代表题详解

来源：880 综合解答 10。

原题：求

解析

令，则

原式变为，在 处，

继续求导：，所以，又

故，于是

答案：

模板

若题目形如 ，且 都是幂指结构：

  1. 分别写成指数形式。
  2. 尽量抽同一个中间变量 。
  3. 构造 。
  4. 检查 ，消到几阶就展开到几阶。

必考同类题

880 基础解答 5 的 II

原题：求极限

令 ，指数为，洛必达得

答案：

880 基础解答 5 的 IV

原题：求极限，

所以

880 基础解答 6 的 V

原题：求极限

于是

880 综合解答 12

原题：若极限

存在，，求 的值。

被积函数为

当 ，

要使平均值极限有限，线性主项必须消失：

再展开

于是，故

1000 基础篇第 2 章 1

原题：求极限

A. B. C. D.

这里的自变量趋于 ，需在 处线性化：

取 ，得

所以

答案：

1000 强化篇第 1 章 3

原题：求极限

，因此

答案：

1000 强化篇第 1 章 5

原题：设

求，

对已知极限取对数，底数趋于 ，于是，因此 ，所以

1000 强化篇第 1 章 11

原题：设函数 在 上有定义，且满足

求，

对已知极限取对数，得到，又 ，故

答案：

1000 强化篇第 1 章 14

原题：计算

所以

拓展同类题

1000 基础篇第 1 章 12

原题：求极限

取对数：，由

对数极限为 ，故原极限为

880 基础解答 5 的 VII

原题：求极限

取对数并有理化分母：

故原极限为 。

880 基础解答 5 的 VIII

原题：求极限，

，因此原极限为 。

1000 强化篇第 1 章 1

原题：求极限

且 ，所以对数极限为 ，原极限为

1000 强化篇第 1 章 16

原题：设，求，

因 时 且 ，所以，原式化为

对话题

含参数积分平均值

来源：对话 2026-07-29 21:30。

原题：设 且 ，

求 。

记被积函数为 。先分别展开：

两式相减后，常数部分为 ；对数部分满足，故 。由连续型 Cesàro 结论，，题设极限为 ，所以

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易错点

  • 题先取对数。
  • 底数趋于 时，指数里的二阶项经常会被外面的 或 放大。
  • 两个幂指表达式相减时，分别求极限只能确认同趋一值；差值阶数要继续展开。
  • 指数函数差可以用中值定理：。

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