局部主项与相消阶数

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必考信号：

• 出现“高阶、低阶、同阶、等价”。
• 加减结构中常数项、一阶项消失。
• 含参数题要求“极限存在”或“与某个无穷小等价”。
• 分子分母都趋于 ，且直接等价替换后得到 、 或看不出非零常数。

核心判断：

稳定乘积因子可以先取极限；参与相消的部分必须保留展开。

代表题详解

来源：880 基础填空 3。

原题：求，

解析

先看指数里的相消层次：，因此

抽出公共因子 ：

分母，故

模板

遇到 ：前提是 。若 与 的低阶项相同，先把 展开到第一个非零项。

必考同类题

880 基础选择 7

原题：设当 时， 是比 高阶的无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则 。

A. B. C. D.

，。 条件为 且 ，所以 ，整数选项取

880 基础填空 2

原题：设 ，若 存在，则 的取值范围为 ______。

若 ， 有有限极限要求

若 ，括号恒为 ，任意实数 都成立。题面只给出 时应分两种情形作答；答案写成单一区间，需要补充 。

880 基础解答 5 的 III

原题：求极限

故极限为

880 综合选择 3

原题：设当 时，

都是无穷小，将它们关于 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（ ）。

A. B. C. D.

阶数从低到高：

880 综合填空 1

原题：求极限

极限

880 综合解答 16 的 I

原题：设

求，由知 ，故，于是

答案：

880 综合解答 16 的 II

原题：设 是三次多项式，且有

求 。有限极限给出

令 ，两个零点变为 。三次多项式可写为，在 与 处求导，得到

解得 ，所以，答案：

1000 基础篇第 1 章 7

原题：设 时， 与 为同阶无穷小，则 ______。

直接拆分：

也可对 使用拉格朗日中值定理：存在介于 与 之间的 ，使，因 ，仍有原式等价于 。这条路线直接揭示 。

故

1000 基础篇第 1 章 8

原题：设，则，A.

B. C. D.

由且 ，得，所以，再由 ，得

1000 基础篇第 1 章 9

原题：设函数 在 的某去心邻域内有定义且不为零，若当 时， 是 的高阶无穷小，则对于以下结论：

① ； ② ； ③ ； ④ 。

正确结论的个数为（ ）。

A. B. C. D.

等价于 。

• ，所以 ，①错。
• ，②对。
• ，③对。
• 无法推出，例如 ，④错。

正确个数：

1000 基础篇第 1 章 14

原题：求极限

根号差先有理化：

分母

极限

拓展同类题

1000 基础篇第 1 章 11

原题：求极限

展开到二阶：

分子为 ，分母 ，故

1000 基础篇第 1 章 15

原题：求极限

提取指数增长项：，且 ，所以极限为

880 基础选择 8

原题：当 时， 与 是同阶无穷小，则（ ）。

A. B. C. D.

展开

要使 与 同阶， 项、 项必须抵消：，所以

880 基础解答 5 的 V

原题：求极限，

880 基础解答 5 的 VI

原题：求极限，

880 综合选择 1、2、4

原题 1：

成立的充分必要条件是（ ）。

A. B. C. D. 与 无关

综合选 1：令 ，

极限非零有限要求

综合选 2：

原题 2：已知

则（ ）。

A. B. C. D.

故

原题 4：设 是方程的解，且满足 ，则当 时，与 为等价无穷小的是（ ）。

A. B. C. D.

综合选 4：方程 且 ，代入 得 ，所以

1000 强化篇第 1 章 8、15、21、23、24、25、28、30、31

强化 8：

原题 8：设当 时， 与 是等价无穷小，则 。

A. B. C. D.

要使两边等价，先杀一阶项得 ，再比较 项得

强化 15：

原题 15：求极限，

写成，因 ，有 ；又 ，故极限为

强化 23：

原题 23：当 时， 与 为等价无穷小，则（ ）。

A. B. C. D.

由 ，所以

强化 21：

原题 21：设 ，且，求 。

由，且 、，所以

强化 25：

原题 25：当 时， 是 的（ ）。

A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价无穷小

由 ，所以

分母

比值趋于 ，故为

强化 24：若 且二者非零，则

原题 24：当 时， 与 是非零且不相等的等价无穷小量，以下 4 个结论：

① ； ② ； ③ ； ④ 。

所有正确结论的序号是（ ）。

A. ①③ B. ③④ C. ①②③④ D. ②④

因为 ，正确结论为

强化 28：

原题 28：当 时，与 是等价无穷小，则 ______。

故

强化 30：

原题 30：当 时，，则 的值分别是（ ）。

A. B. C. D.

由 ，所以

强化 31：

原题 31：当 时， 与 是等价无穷小，则 。

A. B. C. D.

1000 强化篇第 1 章 34

原题：设 在 内可导， 为常数。对于以下结论：

① 若 ，则 ； ② 若 ，则 。

下列说法中正确的是（ ）。

A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①与②均正确 D. ①与②均错误

① 若 ，由 Cauchy 中值定理或 Stolz 型平均斜率思想，

② 反向不成立。反例：，有 ，但无极限。

答案：

补充题：对数复合相消

原题：求当 时 的等价无穷小。

令 ，使用，得

其中 从三阶起， 提供二阶主项，因此

跨题型链接

• 880 基础解答 5 的 IV：幂指函数在极限值附近的一阶变化。
• 880 基础解答 5 的 VII、VIII：幂指极限。
• 1000 强化篇第 1 章 1：反三角函数型幂指极限。
• 1000 基础篇第 1 章 20：补连续值与导数定义。

易错点

• 等价替换在乘除结构中最安全；加减结构先检查是否相消。
• 先看 的最低非零项。
• 根式差先有理化，三角函数差优先展开到三阶。
• “同阶”只要求比值极限为非零常数；“等价”要求比值极限为 。

链接

• 第一部分题库：极限、连续与数列
• 极限里的局部主项与代入边界
• 极限工具链：Taylor、拉格朗日与洛必达