单调性、极值与局部主项

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判定层级

只给出驻点候选；极值由导数变号或最低阶非零局部主项决定。
时，为极小，为极大。
端点极值用单侧比较；单侧导数的符号必须结合分母方向判断。
从图像读：有向面积等于函数增量，的正负决定单调性。

必考

880 第2章基础选择 15

原题

设可导函数由

确定，则（）。

A. 是的极小值点
B. 是的极大值点
C. 在某个左邻域内，单调递减
D. 在某个右邻域内，单调递增

解析

时局部解为。对第二式求导：，，而。因此时，时。函数先增后减，选。

880 第2章基础填空 6

原题

设在处有水平切线，则____。

解析

给出

故答案为。

880 第2章基础填空 16

原题

设函数由

确定，则的极大值为 ____。

解析

令

原方程给出，于是

与同号，故在取得极大值

880 第2章综合选择 16

原题

设在上连续，曲线与围成图示三个区域，且，则正确的是（）。

解析

有向面积给出

因此，且。选。

880 第2章综合解答 12

原题

设函数有二阶连续导数，且，证明：当是的极值点时，在处取得极小值。

解析

对，整理为，右端恒正：令，则。当时右端趋于；由连续，上式在处也按极限成立。

为可导函数的内部极值点，故。于是

均严格大于。由二阶充分条件，为严格极小值点。

1000 基础篇第5章 3

原题

设

则是的（）。

(A) 可导点、极值点
(B) 不可导点、极值点
(C) 可导点、非极值点
(D) 不可导点、非极值点

解析

在的两侧，充分小的非零都满足，故是严格局部极大值点。右差商为，导数不存在。选。

1000 基础篇第5章 17

原题

已知函数对一切满足，若，，则（）。

(A) 是极小值点
(B) 是极大值点
(C) 是拐点
(D) 以上均不正确

解析

在处，时分子负、分母正；时分子正、分母负。两种情形均有，故选。

1000 基础篇第5章 19

原题

设，，并记，则必有（）。

解析，故最大值在取得：，选。

1000 强化篇第5章 1

原题

设，则（）。

(A) 不是的极值点
(B) 不是曲线的拐点
(C) 不是的驻点
(D) 不是曲线的渐近线

解析

均为极小值点，但尖点处不可导，故不属于驻点。为铅直渐近线。按照“函数连续且两侧凹凸性改变”的定义，是拐点：时、，时、。唯一正确项为。

1000 强化篇第5章 4

原题

设。若既没有极值点也没有拐点，则的取值范围是（）。

解析，无极值要求；时导数只在取零且不变号。，无拐点要求；时二阶导数只在取零且不变号。合并得，选。

1000 强化篇第5章 8

原题

求函数的极值。

解析

Leibniz 公式给出。时积分为正；时积分为负。两种情形下乘积都为正，因此，且。在全体实数上严格递增，故没有极值；是驻点。

1000 强化篇第5章 12

原题

已知函数对一切满足，若，，则（）。

(A) 是极大值
(B) 是极小值
(C) 是拐点
(D) 既无极值也非拐点

解析对任意成立，故选。

1000 强化篇第5章 13

原题

由确定的函数（）。

(A) 只有极大值点，极大值为
(B) 只有极小值点，极小值为
(C) 只有极大值点
(D) 有极大值点和极小值点，分别为

解析

左端关于严格递增。对求导：，因此函数在递减，在的定义区间内递增，为极小值点且。定义域从端点开始，函数在其右邻域递减，所以是单侧极大值点。选。

定义域说明：左端积分的值域为，因此右端还需小于；这会给出一个有限的右端点，不影响与附近的极值判定。

1000 强化篇第5章 20

原题

设函数在的某邻域内连续，且，则是的（）。

(A) 不可导点
(B) 驻点且是极大值点
(C) 驻点且是极小值点
(D) 可导点但不是驻点

解析

极限先给出。又，所以，减去，得到，故，且为严格局部极小值点。选。

1000 强化篇第5章 22

原题，其最大值为（）。

解析

在上函数递增，在上函数递减。在上，，且，故区间最大值取在端点。两端函数值相同：，选。

1000 强化篇第5章 23

原题

设在上连续，曲线与围成图示三个区域，其面积为，且。求在上的最大值与最小值。

解析

在三个区间上依次递减、递增、递减，故最大值为，最小值为。选。

1000 强化篇第5章 26

原题

求

的最大值。

解析

区间内，故。在处分段积分：，端点按极限解释。于是

唯一最大点为，最大值

拓展

1000 基础篇第5章 4

原题

已知恒成立，则的取值范围为 ____。

解析

等价于对任意，，，最大值在取得，且，故。

1000 基础篇第5章 12

原题

设连续，且，则在处（）。

(A) 导数不存在
(B) 导数存在且
(C) 取得极小值
(D) 取得极大值

解析

连续性给出。充分小的满足，故为严格局部极大值；同时。选。

1000 基础篇第5章 13

原题

设，则（）。

解析

考察。它在递增，在递减。整数中最大值在取得，故选。

1000 基础篇第5章 14

原题

设，若在处取得极值，则 ____。

解析

，唯一驻点就是极小值点。由得

1000 强化篇第5章 3

原题

设在上可导，且在处取最小值，在处取最大值，则（）。

解析

在左端点，时，故。在右端点，时，分母为负，故。选。

1000 强化篇第5章 5

原题

使对一切恒成立的最小正数为 ____。

解析

求的最大值：，最大点为，最大值为。

1000 强化篇第5章 9

原题

设函数在的某邻域内有定义，则以下结论正确的是（）。

(A) 若，则必不是极值点
(B) 若，则必是极值点
(C) 若，则存在，使在内单调递增
(D) 若，则存在，使在内单调递减

解析

A 可由反驳，B 可由反驳。C 中单点导数只控制的符号，无法比较右邻域内任意两点。

D 中，故充分小的满足，由中值定理可知在某个左邻域内严格递减。选。

考研笔记