第5章：导数的几何应用
总题库：一元微分及其应用题库
核心概念
- 极值、驻点与拐点：一阶变号、二阶判别、高阶首个非零导数与端点极值。
- 导数定义与局部线性化：将点处导数翻译为切线、法线和切线截距。
- 凸性、弦斜率与中心差分：连接二阶导数、弦、切线和对称差分。
- 无穷远主部与渐近线：有限边界、正负无穷、常数项和极坐标渐近线。
- 一次主部与 $t=1/x$ 换元：斜渐近线截距的局部展开语言。
- 曲率、曲率圆与局部二次几何：曲率公式、曲率圆圆心与二阶接触。
- 隐函数、参数方程与反函数求导框架：为切线、曲率和参数曲线综合题提供导数。
- 多项式零点重数与图像计数：重根附近的穿越、接触、极值与拐点。
题型入口
复习顺序
- 从
的符号表确定单调区间和极值，从首个非零局部主项判断退化驻点。 - 从
的符号变化判断凹凸和拐点，并学会由 图像反推 。 - 将切线、法线、截距和相切条件翻译成函数值与导数方程。
- 分别检查有限边界、
和 ，完整求出渐近线。 - 曲率题先确定导数方向和法向符号，再代入曲率或曲率圆公式。
- 综合题按定义域、奇偶性、零点、单调性、极值、凹凸性和渐近线组织作答。
章节衔接
- 求导基础：第4章：复合、隐式与高阶导数
- 证明深化：第6章：中值定理与证明体系
- 相关变化率：第7章：相关变化率